Страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при основании — $15^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при основании — $15^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором боковые стороны $AB = BC = 8$ см, а углы при основании $ \angle BAC = \angle BCA = 15^\circ $.

1. Найдем угол при вершине B.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине B равен:
$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

2. Опишем тело вращения.
Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону AB. Тело вращения, которое при этом образуется, состоит из двух конусов с общим основанием. Первый конус образован вращением стороны BC, его вершина — точка B, а образующая $l_1 = BC = 8$ см. Второй конус образован вращением стороны AC (основания треугольника), его вершина — точка A, а образующая $l_2 = AC$.
Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:
$ S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) $, где $r$ — радиус общего основания конусов.

3. Найдем радиус общего основания $r$.
Радиус $r$ равен длине высоты треугольника ABC, опущенной из вершины C на прямую AB. Обозначим эту высоту CD.
Поскольку угол $ \angle ABC = 150^\circ $ является тупым, основание высоты D будет лежать на продолжении стороны AB за точку B.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. Угол $ \angle CBD $ является смежным с углом $ \angle ABC $, поэтому:
$ \angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.
В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза $BC = 8$ см. Катет CD, являющийся искомым радиусом $r$, противолежит углу $30^\circ$ и, следовательно, равен половине гипотенузы:
$ r = CD = BC \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.

4. Найдем длину образующей второго конуса $l_2 = AC$.
Для нахождения длины стороны AC воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) $
$ AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(150^\circ) $
Так как $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 128 + 64\sqrt{3} = 64(2 + \sqrt{3}) $.
Следовательно, длина образующей $l_2$ равна:
$ l_2 = AC = \sqrt{64(2 + \sqrt{3})} = 8\sqrt{2 + \sqrt{3}} $ см.

5. Вычислим площадь поверхности тела вращения.
Теперь мы можем вычислить площадь поверхности, подставив найденные значения в формулу:
$ S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 4 \cdot (8 + 8\sqrt{2 + \sqrt{3}}) $
$ S = 32\pi (1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}) $ см².

Ответ: $ S = 32\pi (1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}) $ см².

146. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 12 см, боковая сторона — 17 см, а высота — 15 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 12 см, боковая сторона — 17 см, а высота — 15 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело вращения образуется при вращении равнобокой трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание. Площадь поверхности этого тела складывается из площадей поверхностей, образованных вращением большего основания и двух боковых сторон трапеции. Меньшее основание лежит на оси вращения и при вращении не образует поверхности (площадь равна нулю).

При вращении большего основания трапеции образуется боковая поверхность цилиндра. При вращении двух боковых сторон (ног) трапеции образуются боковые поверхности двух одинаковых конусов.

Для вычисления площадей нам понадобятся следующие размеры:

• Радиус основания цилиндра и конусов, который равен высоте трапеции: $r = h = 15$ см.
• Образующая конусов, которая равна боковой стороне трапеции: $l = 17$ см.
• Высота цилиндра, которая равна длине большего основания трапеции. Найдем длину большего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и проекцией боковой стороны на большее основание (второй катет). Обозначим длину проекции как $x$. По теореме Пифагора:
$x = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см.
Так как трапеция равнобокая, ее большее основание $a$ равно сумме меньшего основания $b$ и двух таких проекций:
$a = b + 2x = 12 + 2 \cdot 8 = 12 + 16 = 28$ см.

Теперь можем вычислить площади поверхностей:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением большего основания:
$S_{цил} = 2 \pi r a = 2 \pi \cdot 15 \cdot 28 = 840 \pi$ см$^2$.
2. Суммарная площадь боковых поверхностей двух конусов, образованных вращением боковых сторон:
$S_{2кон} = 2 \cdot (\pi r l) = 2 \cdot \pi \cdot 15 \cdot 17 = 510 \pi$ см$^2$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:
$S_{общ} = S_{цил} + S_{2кон} = 840 \pi + 510 \pi = 1350 \pi$ см$^2$.

Ответ: $1350 \pi$ см$^2$.

147. Высота конуса равна 15 см. На расстоянии 3,6 см от вершины конуса проведено сечение, плоскость которого параллельна плоскости основания. Радиус полученного сечения равен 6 см. Найдите радиус основания конуса.

147. Высота конуса равна 15 см. На расстоянии 3,6 см от вершины конуса проведено сечение, плоскость которого параллельна плоскости основания. Радиус полученного сечения равен 6 см. Найдите радиус основания конуса.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных фигур. Сечение, плоскость которого параллельна плоскости основания конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному.

Обозначим:

• $H$ – высота исходного конуса;
• $R$ – радиус основания исходного конуса;
• $h$ – высота малого (отсеченного) конуса, то есть расстояние от вершины до сечения;
• $r$ – радиус сечения (основания малого конуса).

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• $H = 15$ см;
• $h = 3,6$ см;
• $r = 6$ см.

Поскольку малый конус подобен большому, отношение их соответствующих линейных размеров (высот и радиусов оснований) будет одинаковым. Это можно представить в виде пропорции:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим в эту формулу известные значения:

$\frac{3,6}{15} = \frac{6}{R}$

Теперь решим это уравнение относительно $R$, чтобы найти радиус основания исходного конуса.

$R = \frac{6 \cdot 15}{3,6}$

$R = \frac{90}{3,6}$

Чтобы упростить вычисление, умножим числитель и знаменатель на 10:

$R = \frac{900}{36}$

Теперь выполним деление:

$R = 25$ см.

Ответ: 25 см.

148. Радиус основания конуса равен 24 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении $1 : 3$, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

148. Радиус основания конуса равен 24 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении 1 : 3, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

Пусть $R$ — радиус основания исходного конуса, а $H$ — его высота. По условию, $R = 24$ см.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному. Пусть $h$ — высота меньшего конуса, а $r$ — радиус его основания (это и есть радиус образовавшегося сечения).

Согласно условию, секущая плоскость делит высоту $H$ в отношении $1:3$, считая от вершины. Это означает, что высота малого конуса $h$ составляет 1 часть, а высота усеченного конуса (нижней части) — 3 части. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $1+3=4$ частей.

Отношение высоты малого конуса к высоте большого конуса равно: $${h \over H} = {1 \over 1+3} = {1 \over 4}$$

Из подобия конусов следует, что отношение их радиусов равно отношению их высот: $${r \over R} = {h \over H}$$

Подставим известные значения в это соотношение: $${r \over 24} = {1 \over 4}$$

Отсюда найдем радиус сечения $r$: $$r = 24 \cdot {1 \over 4} = 6 \text{ см}$$

Образовавшееся сечение является кругом. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле: $$S = \pi r^2$$

Найдем площадь сечения, подставив значение $r = 6$ см: $$S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ см}^2$$

Ответ: $36\pi \text{ см}^2$

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 5 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 5 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), а образующую — как $l$. По условию задачи дано:
$R = 5$ см;
$r = 3$ см;
Угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 45°$.

Для нахождения образующей рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Проведем в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания на большее. Эта высота, часть большего основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:
- гипотенуза — это образующая конуса $l$;
- один из катетов равен высоте конуса $h$;
- второй катет равен разности радиусов оснований $R - r$;
- угол, прилежащий ко второму катету (между образующей и плоскостью основания), равен $\alpha = 45°$.

Вычислим длину катета, равного разности радиусов:
$R - r = 5 - 3 = 2$ см.

Теперь, зная прилежащий катет ($R-r$) и угол ($\alpha$) в прямоугольном треугольнике, мы можем найти гипотенузу $l$ через косинус этого угла:
$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$

Выразим из этой формулы образующую $l$:
$l = \frac{R - r}{\cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения:
$l = \frac{2}{\cos(45°)}$

Поскольку значение $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$l = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$l = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

150. Радиус большего основания усечённого конуса равен 10 см, образующая — 13 см, а высота — 12 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

150. Радиус большего основания усечённого конуса равен 10 см, образующая — 13 см, а высота — 12 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобедренной трапецией. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований усечённого конуса, боковые стороны равны образующей, а высота трапеции равна высоте конуса.

Обозначим радиус большего основания как $R$, радиус меньшего основания как $r$, высоту как $h$ и образующую как $l$.

По условию задачи имеем:

• $R = 10$ см
• $l = 13$ см
• $h = 12$ см

Площадь трапеции (осевого сечения) вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции. В нашем случае $a = 2R$ и $b = 2r$. Тогда формула для площади осевого сечения примет вид:

$S = \frac{2R+2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным разности радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и разность радиусов $(R-r)$ — катетами.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Выразим из этой формулы $(R-r)^2$:

$(R-r)^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$(10-r)^2 = 13^2 - 12^2$

$(10-r)^2 = 169 - 144$

$(10-r)^2 = 25$

$10-r = \sqrt{25}$

Поскольку $R$ — радиус большего основания, то $R > r$, значит $R-r > 0$. Следовательно, мы берем положительное значение корня:

$10-r = 5$

$r = 10 - 5 = 5$ см.

Теперь, когда все величины известны, мы можем вычислить площадь осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot h = (10+5) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 7 см и 10 см, а образующая — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 7 см и 10 см, а образующая — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая конуса.

В соответствии с условиями задачи, мы имеем следующие данные:

Радиус большего основания $R = 10$ см.

Радиус меньшего основания $r = 7$ см.

Образующая $l = 6$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(10 + 7) \cdot 6$

$S_{бок} = \pi \cdot 17 \cdot 6$

$S_{бок} = 102\pi$ см².

Ответ: $102\pi$ см².

152. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{21}$ см, а диагональ осевого сечения $-$ $10\sqrt{3}$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

152. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{21}$ см, а ди- агональ осевого сечения – $10\sqrt{3}$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $30^{\circ}$. Най- дите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, назовем её ABCD, где AD и BC — диаметры нижнего и верхнего оснований соответственно.

Пусть $R$ — радиус нижнего основания, а $r$ — радиус верхнего основания. Тогда длина большего основания трапеции $AD = 2R$, а меньшего — $BC = 2r$. Боковая сторона трапеции является образующей конуса, $CD = l = 2\sqrt{21}$ см. Диагональ трапеции $AC = d = 10\sqrt{3}$ см.

Угол между диагональю AC и плоскостью нижнего основания — это угол, образованный диагональю AC и её проекцией на это основание. В осевом сечении это угол $\angle CAD$, и по условию он равен $30^\circ$.

Проведём из вершины C высоту CH на основание AD. Треугольник AHC является прямоугольным, с гипотенузой AC и острым углом $\angle CAH = 30^\circ$. Найдём высоту трапеции H (которая равна высоте конуса) и длину отрезка AH:

$H = CH = AC \cdot \sin(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

$AH = AC \cdot \cos(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Теперь выразим отрезок AH через радиусы $R$ и $r$. В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий вершину с проекцией на большее основание, можно найти следующим образом. Проведём также высоту из вершины B на основание AD. Основание высоты H делит большее основание AD на отрезки AH и HD. Длина отрезка AH равна сумме радиуса большего основания и радиуса меньшего основания:

$AH = R + r$.

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $R + r = 15$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Его гипотенуза — это образующая $CD = l = 2\sqrt{21}$ см, а один из катетов — высота $CH = H = 5\sqrt{3}$ см. Второй катет HD можно найти по теореме Пифагора:

$HD^2 = CD^2 - CH^2 = (2\sqrt{21})^2 - (5\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 21 - 25 \cdot 3 = 84 - 75 = 9$.

Отсюда $HD = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина отрезка HD равна разности радиусов оснований:

$HD = R - r$.

Таким образом, мы получаем второе уравнение: $R - r = 3$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} R + r = 15 \\ R - r = 3 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $(R + r) + (R - r) = 15 + 3$, что даёт $2R = 18$, откуда $R = 9$ см.

Подставим найденное значение R в первое уравнение: $9 + r = 15$, откуда $r = 15 - 9 = 6$ см.

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны 9 см и 6 см.

153. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его высотой и образующей равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости этого осевого сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его высотой и образующей равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости этого осевого сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ (большее) и $r$ (меньшее), высоту как $h$, а образующую как $l$.

Из условия задачи имеем: $h = 6$ см, угол между высотой и образующей равен $30^{\circ}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD=2R$ и $BC=2r$ — её основания, а $AB=CD=l$ — боковые стороны. Проведём высоту трапеции $BK$ из точки $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ равен высоте конуса $h=6$ см. Угол между высотой конуса и образующей — это угол $\angle ABK = 30^{\circ}$.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ найдём образующую $l$ (гипотенуза $AB$) и отрезок $AK$:

$l = AB = \frac{BK}{\cos(30^{\circ})} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Отрезок $AK$ равен разности радиусов оснований: $AK = R - r$.

$R - r = AK = BK \cdot \tan(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Далее, по условию, диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^{\circ}$.

Чтобы найти стороны этого треугольника, сначала определим угол $\angle ADC$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $CD$, высотой $CM$ (проведённой из точки $C$ на основание $AD$) и отрезком $MD$. В этом треугольнике $CM=h=6$ см, $CD=l=4\sqrt{3}$ см. Тогда:

$\sin(\angle ADC) = \frac{CM}{CD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\angle ADC = 60^{\circ}$.

Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $ACD$. В нём мы знаем катет $CD = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ADC = 60^{\circ}$. Гипотенуза $AD$ является диаметром большего основания конуса.

$AD = \frac{CD}{\cos(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3}$ см.

Тогда радиус большего основания $R = \frac{AD}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Зная $R$ и разность $R-r$, найдём радиус меньшего основания $r$:

$r = R - (R - r) = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$.

Подставим найденные значения:

$S_{бок} = \pi(4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot (24 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (24 \cdot 3) = 72\pi$ см².

Ответ: $72\pi$ см².