Страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi Rl$, где $R$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Эту формулу также можно записать в виде $S_{полн} = \pi R(R + l)$.

Так как конус описан около правильной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса. Это означает, что образующая конуса $l$ равна боковому ребру пирамиды $b$. Таким образом, $l = b$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (и конуса) $H$, радиусом основания $R$ и боковым ребром пирамиды $b$ (которое является образующей конуса $l$). В этом треугольнике боковое ребро $b$ является гипотенузой.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между образующей $l=b$ и радиусом основания $R$. По условию задачи, этот угол равен $60^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим катет $R$:

$R = l \cdot \cos(60^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.

Теперь, зная радиус $R = \frac{b}{2}$ и образующую $l = b$, мы можем найти площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi R(R + l) = \pi \cdot \frac{b}{2} \left(\frac{b}{2} + b\right) = \pi \cdot \frac{b}{2} \left(\frac{b + 2b}{2}\right) = \pi \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{3b}{2} = \frac{3\pi b^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi b^2}{4}$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC, AC = a, \angle BAC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle DBC = \beta$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle DBC = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей. Поскольку конус описан около пирамиды $DABC$, его основанием является окружность, описанная около треугольника $ABC$, а вершиной — точка $D$. Таким образом, $R$ — это радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а образующая $L$ равна длине боковых ребер пирамиды ($L = DA = DB = DC$).

Сначала найдем радиус $R$ основания конуса. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) со стороной $AC=a$ и углом при основании $\angle BAC = \alpha$. Угол при вершине $B$ равен $\angle ABC = \pi - 2\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$ радиус описанной окружности $R$ равен:$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2\sin(\pi - 2\alpha)} = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$.

Далее найдем длину образующей $L$, которая равна боковому ребру $DB$. Для этого рассмотрим треугольник $DBC$. Так как $DB=DC=L$, этот треугольник является равнобедренным. По условию, $\angle DBC = \beta$. Чтобы найти $L$, нам понадобится длина стороны $BC$. Найдем ее из треугольника $ABC$ по теореме синусов:$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \implies BC = a \frac{\sin{\alpha}}{\sin(\pi - 2\alpha)} = a \frac{\sin{\alpha}}{\sin(2\alpha)} = a \frac{\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{a}{2\cos{\alpha}}$.Теперь вернемся к равнобедренному треугольнику $DBC$. Проведем в нем высоту $DM$ к основанию $BC$. В прямоугольном треугольнике $DMB$ катет $BM$ равен половине $BC$, то есть $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{4\cos{\alpha}}$. Из определения косинуса в этом треугольнике имеем $\cos(\angle DBM) = \frac{BM}{DB}$, или $\cos{\beta} = \frac{BM}{L}$. Отсюда выражаем $L$:$L = \frac{BM}{\cos{\beta}} = \frac{a/(4\cos{\alpha})}{\cos{\beta}} = \frac{a}{4\cos{\alpha}\cos{\beta}}$.

Наконец, подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{a}{2\sin(2\alpha)} \cdot \frac{a}{4\cos{\alpha}\cos{\beta}} = \frac{\pi a^2}{8 \sin(2\alpha) \cos{\alpha} \cos{\beta}}$.Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ для упрощения знаменателя:$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{8 (2\sin{\alpha}\cos{\alpha}) \cos{\alpha} \cos{\beta}} = \frac{\pi a^2}{16 \sin{\alpha} \cos^2{\alpha} \cos{\beta}}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{16 \sin{\alpha} \cos^2{\alpha} \cos{\beta}}$.

163. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а апофема – $\sqrt{34}$ см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

163. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а апофема — $\sqrt{34}$ см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. В её основании лежит квадрат со стороной $a = 10$ см. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $l = \sqrt{34}$ см.

Конус, вписанный в пирамиду, имеет общую с ней вершину и высоту. Основание конуса — это окружность, вписанная в квадратное основание пирамиды. Таким образом, высота конуса $H_{конуса}$ равна высоте пирамиды $H_{пирамиды}$. Найдём высоту пирамиды.

Высота пирамиды $H_{пирамиды}$, её апофема $l$ и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а высота и указанный отрезок — катетами.

Длина отрезка, соединяющего центр квадрата с серединой его стороны, равна радиусу $r$ вписанной в квадрат окружности. Этот радиус равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Согласно теореме Пифагора для данного прямоугольного треугольника: $l^2 = H_{пирамиды}^2 + r^2$

Выразим из этой формулы высоту пирамиды и подставим известные значения: $H_{пирамиды}^2 = l^2 - r^2$
$H_{пирамиды}^2 = (\sqrt{34})^2 - 5^2$
$H_{пирамиды}^2 = 34 - 25$
$H_{пирамиды}^2 = 9$
$H_{пирамиды} = \sqrt{9} = 3$ см.

Так как высота вписанного конуса равна высоте пирамиды, высота конуса составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная пирамида. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $m$. Угол, который апофема образует с плоскостью основания, равен $45°$. В эту пирамиду вписан конус.

Для конуса, вписанного в правильную пирамиду, выполняются следующие соотношения:

• Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
• Основание конуса — это круг, вписанный в многоугольник основания пирамиды.
• Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$.
• Образующая конуса $l$ равна апофеме пирамиды.
• Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды.

Таким образом, образующая конуса $l = m$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, её апофемой (которая является гипотенузой) и радиусом вписанной в основание окружности $r$ (который является проекцией апофемы на основание). В этом треугольнике:

• Гипотенуза — это апофема, равная $l = m$.
• Один катет — это высота конуса $h$.
• Второй катет — это радиус основания конуса $r$.
• Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$. По условию, этот угол равен $45°$.

Так как это прямоугольный треугольник с одним из острых углов $45°$, то он является равнобедренным, и $h = r$.

Найдем радиус основания конуса $r$ из этого треугольника, используя тригонометрические соотношения:

$r = l \cdot \cos(45°) = m \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы знаем все необходимые параметры конуса для нахождения площади его полной поверхности:

• Образующая $l = m$.
• Радиус основания $r = m \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \left(m \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(m \frac{\sqrt{2}}{2} + m\right)$

Вынесем $m$ за скобки во втором множителе:

$S_{полн} = \pi \left(m \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot m \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)$

Раскроем скобки:

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$

165. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна произведению его высоты $H$ на радиус основания $r$.

$S_{сеч} = r \cdot H$

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Основание пирамиды — это правильный треугольник со стороной $a$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$, где $S$ - вершина, а $O$ - центр основания.

Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, равнобедренный треугольник $ASB$, где $AB = a$ и угол при вершине $\angle ASB = \alpha$. Проведем в этом треугольнике высоту (апофему пирамиды) $SK$ к основанию $AB$. Треугольник $ASK$ - прямоугольный, в нем $AK = \frac{a}{2}$ и $\angle ASK = \frac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $ASK$ найдем длину апофемы $SK$:

$\text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{SK}{AK} \Rightarrow SK = AK \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, образованный высотой пирамиды $SO=H$, радиусом вписанной окружности $OK=r$ и апофемой $SK$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OK^2 = SK^2$

$H^2 = SK^2 - r^2$

Подставим известные значения $SK$ и $r$:

$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{a^2\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{a^2}{12}$

$H^2 = a^2 \left(\frac{\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{1}{12}\right) = a^2 \frac{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}{12}$

$H = \sqrt{a^2 \frac{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$S_{сеч} = \frac{3a^2}{36}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$S_{сеч} = \frac{a^2}{12}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

Ответ: $\frac{a^2}{12}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 24 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 24 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 45°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Пусть основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см и высотой $BH = 9$ см, проведённой к основанию.

Конус вписан в пирамиду. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в треугольник $ABC$, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Высота конуса $H_{к}$ равна высоте пирамиды $H_{п}$, а радиус основания конуса $R_{к}$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности $r$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R_{к}$), а высота равна высоте конуса ($H_{к}$). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R_{к}) \cdot H_{к} = R_{к} \cdot H_{к} = r \cdot H_{п}$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см².

Для нахождения полупериметра найдем боковую сторону $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Периметр треугольника $ABC$: $P = AB + BC + AC = 15 + 15 + 24 = 54$ см.

Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см.

Следовательно, радиус основания конуса $R_{к} = r = 4$ см.

2. Найдем высоту пирамиды (и конуса) $H_{п}$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр).

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — её проекция на основание (центр вписанной окружности). Тогда $SO = H_{п}$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $OK$ — радиус вписанной окружности, проведенный к стороне основания ($OK \perp AC$). Тогда $SK$ — апофема боковой грани, а угол $SKO$ — линейный угол двугранного угла при ребре основания.

По условию $\angle SKO = 45^\circ$. Треугольник $SOK$ — прямоугольный, так как $SO$ — высота. Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол ($\angle OSK$) равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $SOK$ является равнобедренным, и $SO = OK$.

Так как $OK = r$, то высота пирамиды $H_{п} = SO = r = 4$ см. Высота конуса $H_{к} = H_{п} = 4$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Теперь мы можем вычислить площадь осевого сечения конуса: $S_{сеч} = R_{к} \cdot H_{к} = 4 \cdot 4 = 16$ см².

Ответ: 16 см².

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Сторона ромба равна $4\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей — $8\sqrt{2}$ см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Сторона ромба равна $4\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей — $8\sqrt{2}$ см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Это означает, что радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Пусть нам дан ромб со стороной $a = 4\sqrt{3}$ см и одной из диагоналей $d_1 = 8\sqrt{2}$ см. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали:
$(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = (4\sqrt{3})^2 - (\frac{8\sqrt{2}}{2})^2 = (4\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 48 - 32 = 16$ см².
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Отсюда можем найти высоту ромба $h$:
$h = \frac{S}{a} = \frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:
$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.
Это и есть искомый радиус основания конуса.

2. Найдем образующую конуса $l$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны 45°. Это означает, что высота пирамиды $H$ (которая также является высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и апофемой пирамиды (которая проходит по боковой поверхности конуса от вершины до точки касания с ребром основания). Угол между радиусом, проведенным в точку касания, и апофемой является линейным углом двугранного угла и равен 45°.

В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Из определения тангенса:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{H}{r}$
Поскольку $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $H = r = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $H$ и радиус $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$
Так как $H = r$, то $l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
$l = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{12}}{3} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32\pi\sqrt{18}}{9} = \frac{32\pi\sqrt{9 \cdot 2}}{9} = \frac{32\pi \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{32\pi\sqrt{2}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{32\pi\sqrt{2}}{3}$ см².

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB = CD = 10 см — боковые стороны. Пусть одно из оснований, например BC, равно 4 см.

В данную пирамиду вписан конус. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (трапецию), а вершины конуса и пирамиды совпадают.

Условие, при котором в трапецию можно вписать окружность, — это равенство сумм длин противоположных сторон. Для нашей равнобокой трапеции:$AD + BC = AB + CD$$AD + 4 = 10 + 10$$AD = 20 - 4 = 16$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоты BH₁ и CH₂ из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, то $AH₁ = H₂D$.$AH₁ = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH₁. По теореме Пифагора:$h^2 = AB^2 - AH₁^2$$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.Этот радиус является радиусом основания вписанного конуса.

Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что высота пирамиды H (которая также является высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса H, радиусом его основания r и образующей конуса l (которая является апофемой боковой грани пирамиды). Угол между радиусом и апофемой равен 60°.

Из этого треугольника находим высоту конуса H:$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{r}$$H = r \cdot \tan(60^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса H. Найдем площадь этого сечения $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$$S_{сеч} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².