Номер 161, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi Rl$, где $R$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Эту формулу также можно записать в виде $S_{полн} = \pi R(R + l)$.

Так как конус описан около правильной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса. Это означает, что образующая конуса $l$ равна боковому ребру пирамиды $b$. Таким образом, $l = b$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (и конуса) $H$, радиусом основания $R$ и боковым ребром пирамиды $b$ (которое является образующей конуса $l$). В этом треугольнике боковое ребро $b$ является гипотенузой.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между образующей $l=b$ и радиусом основания $R$. По условию задачи, этот угол равен $60^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим катет $R$:

$R = l \cdot \cos(60^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.

Теперь, зная радиус $R = \frac{b}{2}$ и образующую $l = b$, мы можем найти площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi R(R + l) = \pi \cdot \frac{b}{2} \left(\frac{b}{2} + b\right) = \pi \cdot \frac{b}{2} \left(\frac{b + 2b}{2}\right) = \pi \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{3b}{2} = \frac{3\pi b^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi b^2}{4}$.