Номер 166, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 24 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 24 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 45°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Пусть основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см и высотой $BH = 9$ см, проведённой к основанию.

Конус вписан в пирамиду. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в треугольник $ABC$, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Высота конуса $H_{к}$ равна высоте пирамиды $H_{п}$, а радиус основания конуса $R_{к}$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности $r$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R_{к}$), а высота равна высоте конуса ($H_{к}$). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R_{к}) \cdot H_{к} = R_{к} \cdot H_{к} = r \cdot H_{п}$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см².

Для нахождения полупериметра найдем боковую сторону $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Периметр треугольника $ABC$: $P = AB + BC + AC = 15 + 15 + 24 = 54$ см.

Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см.

Следовательно, радиус основания конуса $R_{к} = r = 4$ см.

2. Найдем высоту пирамиды (и конуса) $H_{п}$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр).

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — её проекция на основание (центр вписанной окружности). Тогда $SO = H_{п}$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $OK$ — радиус вписанной окружности, проведенный к стороне основания ($OK \perp AC$). Тогда $SK$ — апофема боковой грани, а угол $SKO$ — линейный угол двугранного угла при ребре основания.

По условию $\angle SKO = 45^\circ$. Треугольник $SOK$ — прямоугольный, так как $SO$ — высота. Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол ($\angle OSK$) равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $SOK$ является равнобедренным, и $SO = OK$.

Так как $OK = r$, то высота пирамиды $H_{п} = SO = r = 4$ см. Высота конуса $H_{к} = H_{п} = 4$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Теперь мы можем вычислить площадь осевого сечения конуса: $S_{сеч} = R_{к} \cdot H_{к} = 4 \cdot 4 = 16$ см².

Ответ: 16 см².