Номер 170, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 4 см, высота — 12 см, а образующая — $6\sqrt{5}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 4 см, высота — 12 см, а образующая — $6\sqrt{5}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды. Формула для её вычисления: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Дано:

• Радиус меньшего основания конуса, $r = 4$ см.
• Высота усечённого конуса (и вписанной пирамиды), $h = 12$ см.
• Образующая усечённого конуса, $L = 6\sqrt{5}$ см.

1. Найдём радиус большего основания усечённого конуса (R)

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, у которой высота равна $h$, боковая сторона равна $L$, а полусуммы оснований равны $R$ и $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $L$ и разностью радиусов $(R-r)$, по теореме Пифагора имеем:

$L^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$(6\sqrt{5})^2 = 12^2 + (R-4)^2$

$36 \cdot 5 = 144 + (R-4)^2$

$180 = 144 + (R-4)^2$

$(R-4)^2 = 180 - 144 = 36$

$R-4 = 6$

$R = 10$ см.

2. Найдём стороны оснований вписанной пирамиды (a₁ и a₂)

Так как в конус вписана правильная четырёхугольная пирамида, её основаниями являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Радиус окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной $a$ формулой $R_{окр} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Для меньшего основания (со стороной $a_2$):

$r = \frac{a_2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 4 = \frac{a_2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a_2 = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Для большего основания (со стороной $a_1$):

$R = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 10 = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a_1 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см.

3. Найдём апофему усечённой пирамиды (hₐ)

Апофему $h_a$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и разность апофем оснований (которые для квадрата равны половине его стороны), а гипотенузой — сама апофема $h_a$.

$h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2}\right)^2$

$h_a^2 = 12^2 + \left(\frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$h_a^2 = 144 + (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2$

$h_a^2 = 144 + (3\sqrt{2})^2$

$h_a^2 = 144 + 9 \cdot 2 = 144 + 18 = 162$

$h_a = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ см.

4. Найдём площадь боковой поверхности усечённой пирамиды (Sбок)

Сначала вычислим периметры оснований:

$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.

$P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 10\sqrt{2} = 40\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим все значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(40\sqrt{2} + 16\sqrt{2}) \cdot 9\sqrt{2}$

$S_{бок} = \frac{1}{2}(56\sqrt{2}) \cdot 9\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$

$S_{бок} = 28 \cdot 9 \cdot (\sqrt{2})^2 = 252 \cdot 2 = 504$ см$^2$.

Ответ: $504$ см$^2$.