Номер 167, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Сторона ромба равна $4\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей — $8\sqrt{2}$ см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб. Сторона ромба равна $4\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей — $8\sqrt{2}$ см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Это означает, что радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Пусть нам дан ромб со стороной $a = 4\sqrt{3}$ см и одной из диагоналей $d_1 = 8\sqrt{2}$ см. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали:
$(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = (4\sqrt{3})^2 - (\frac{8\sqrt{2}}{2})^2 = (4\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 48 - 32 = 16$ см².
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Отсюда можем найти высоту ромба $h$:
$h = \frac{S}{a} = \frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:
$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.
Это и есть искомый радиус основания конуса.

2. Найдем образующую конуса $l$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны 45°. Это означает, что высота пирамиды $H$ (которая также является высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и апофемой пирамиды (которая проходит по боковой поверхности конуса от вершины до точки касания с ребром основания). Угол между радиусом, проведенным в точку касания, и апофемой является линейным углом двугранного угла и равен 45°.

В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Из определения тангенса:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{H}{r}$
Поскольку $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $H = r = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $H$ и радиус $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$
Так как $H = r$, то $l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
$l = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{12}}{3} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32\pi\sqrt{18}}{9} = \frac{32\pi\sqrt{9 \cdot 2}}{9} = \frac{32\pi \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{32\pi\sqrt{2}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{32\pi\sqrt{2}}{3}$ см².