Номер 162, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC, AC = a, \angle BAC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle DBC = \beta$.

162. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $AB = BC$, $AC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle DBC = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей. Поскольку конус описан около пирамиды $DABC$, его основанием является окружность, описанная около треугольника $ABC$, а вершиной — точка $D$. Таким образом, $R$ — это радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а образующая $L$ равна длине боковых ребер пирамиды ($L = DA = DB = DC$).

Сначала найдем радиус $R$ основания конуса. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) со стороной $AC=a$ и углом при основании $\angle BAC = \alpha$. Угол при вершине $B$ равен $\angle ABC = \pi - 2\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$ радиус описанной окружности $R$ равен:$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2\sin(\pi - 2\alpha)} = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$.

Далее найдем длину образующей $L$, которая равна боковому ребру $DB$. Для этого рассмотрим треугольник $DBC$. Так как $DB=DC=L$, этот треугольник является равнобедренным. По условию, $\angle DBC = \beta$. Чтобы найти $L$, нам понадобится длина стороны $BC$. Найдем ее из треугольника $ABC$ по теореме синусов:$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \implies BC = a \frac{\sin{\alpha}}{\sin(\pi - 2\alpha)} = a \frac{\sin{\alpha}}{\sin(2\alpha)} = a \frac{\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{a}{2\cos{\alpha}}$.Теперь вернемся к равнобедренному треугольнику $DBC$. Проведем в нем высоту $DM$ к основанию $BC$. В прямоугольном треугольнике $DMB$ катет $BM$ равен половине $BC$, то есть $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{4\cos{\alpha}}$. Из определения косинуса в этом треугольнике имеем $\cos(\angle DBM) = \frac{BM}{DB}$, или $\cos{\beta} = \frac{BM}{L}$. Отсюда выражаем $L$:$L = \frac{BM}{\cos{\beta}} = \frac{a/(4\cos{\alpha})}{\cos{\beta}} = \frac{a}{4\cos{\alpha}\cos{\beta}}$.

Наконец, подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{a}{2\sin(2\alpha)} \cdot \frac{a}{4\cos{\alpha}\cos{\beta}} = \frac{\pi a^2}{8 \sin(2\alpha) \cos{\alpha} \cos{\beta}}$.Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ для упрощения знаменателя:$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{8 (2\sin{\alpha}\cos{\alpha}) \cos{\alpha} \cos{\beta}} = \frac{\pi a^2}{16 \sin{\alpha} \cos^2{\alpha} \cos{\beta}}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{16 \sin{\alpha} \cos^2{\alpha} \cos{\beta}}$.