Номер 168, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB = CD = 10 см — боковые стороны. Пусть одно из оснований, например BC, равно 4 см.

В данную пирамиду вписан конус. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (трапецию), а вершины конуса и пирамиды совпадают.

Условие, при котором в трапецию можно вписать окружность, — это равенство сумм длин противоположных сторон. Для нашей равнобокой трапеции:$AD + BC = AB + CD$$AD + 4 = 10 + 10$$AD = 20 - 4 = 16$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоты BH₁ и CH₂ из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, то $AH₁ = H₂D$.$AH₁ = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH₁. По теореме Пифагора:$h^2 = AB^2 - AH₁^2$$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.Этот радиус является радиусом основания вписанного конуса.

Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что высота пирамиды H (которая также является высотой конуса) проецируется в центр вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса H, радиусом его основания r и образующей конуса l (которая является апофемой боковой грани пирамиды). Угол между радиусом и апофемой равен 60°.

Из этого треугольника находим высоту конуса H:$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{r}$$H = r \cdot \tan(60^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса H. Найдем площадь этого сечения $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$$S_{сеч} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².