Номер 157, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($∠C = 90°$). Согласно условию, один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $α$. Пусть катет $AC = a$ и прилежащий к нему угол $∠A = α$. Тогда другие элементы треугольника равны:

• Второй острый угол: $∠B = 90° - α$.
• Второй катет: $BC = AC \cdot \tan(A) = a \tan(α)$.
• Гипотенуза: $AB = \frac{AC}{\cos(A)} = \frac{a}{\cos(α)}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $L$, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через вершину угла, противолежащего данному катету $AC$ (то есть через вершину $B$), и перпендикулярна гипотенузе $AB$.

Поверхность тела вращения состоит из поверхностей, образованных вращением сторон треугольника $AC$ и $BC$. Сторона $AB$ при вращении образует плоский круг (диск), который является внутренней частью тела вращения (общее основание для двух его частей), поэтому его площадь не входит в площадь внешней поверхности.

Таким образом, искомая площадь поверхности $S$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением катетов $AC$ и $BC$: $S = S_{AC} + S_{BC}$.

Для вычисления площадей нам понадобятся расстояния (радиусы вращения) от вершин $A$ и $C$ до оси вращения $L$. Ось $L$ проходит через $B$ и перпендикулярна $AB$.

1. Радиус вращения вершины A ($r_A$): Расстояние от точки $A$ до прямой $L$ равно длине отрезка $AB$, так как $L \perp AB$ в точке $B$. $r_A = AB = \frac{a}{\cos(α)}$.

2. Радиус вращения вершины C ($r_C$): Расстояние от точки $C$ до прямой $L$ равно длине отрезка $BH$, где $H$ — проекция точки $C$ на прямую, содержащую гипотенузу $AB$. В прямоугольном треугольнике $BCH$ (где $∠BHC = 90°$), угол $∠B = 90° - α$. $BH = BC \cdot \cos(∠B) = BC \cdot \cos(90° - α) = BC \cdot \sin(α)$. Подставляя значение $BC = a \tan(α)$, получаем: $r_C = BH = (a \tan(α)) \cdot \sin(α) = a \frac{\sin(α)}{\cos(α)} \sin(α) = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Теперь найдем площади поверхностей вращения для каждого катета.

Площадь поверхности, образованной вращением катета BC ($S_{BC}$): При вращении отрезка $BC$ вокруг оси $L$, проходящей через его конец $B$, образуется боковая поверхность конуса.

• Образующая конуса $l_{BC} = BC = a \tan(α)$.
• Радиус основания конуса $r = r_C = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{BC} = \pi r l_{BC} = \pi \left(a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}\right) (a \tan(α)) = \pi a^2 \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)} \frac{\sin(α)}{\cos(α)} = \pi a^2 \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)}$.

Площадь поверхности, образованной вращением катета AC ($S_{AC}$): При вращении отрезка $AC$ вокруг оси $L$ образуется боковая поверхность усеченного конуса, так как ни один из его концов не лежит на оси.

• Образующая усеченного конуса $l_{AC} = AC = a$.
• Радиусы оснований $R = r_A = \frac{a}{\cos(α)}$ и $r = r_C = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{AC} = \pi (R+r) l_{AC} = \pi \left(\frac{a}{\cos(α)} + a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}\right) a = \pi a^2 \frac{1+\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Общая площадь поверхности тела вращения: $S = S_{BC} + S_{AC} = \pi a^2 \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)} + \pi a^2 \frac{1+\sin^2(α)}{\cos(α)}$. Приведем к общему знаменателю $\cos^2(α)$: $S = \pi a^2 \left( \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)} + \frac{(1+\sin^2(α))\cos(α)}{\cos^2(α)} \right)$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\sin^3(α) + \cos(α) + \sin^2(α)\cos(α))$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\cos(α) + \sin^2(α)(\sin(α) + \cos(α)))$.

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\cos(α) + \sin^3(α) + \sin^2(α)\cos(α))$