Страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Точка D принадлежит сфере $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OD, но не принадлежит отрезку OD. Найдите расстояние от точки D до начала координат.

178. Точка $D$ принадлежит сфере $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OD$, но не принадлежит отрезку $OD$. Найдите расстояние от точки $D$ до начала координат.

Сначала определим параметры сферы из ее уравнения $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$. Каноническое уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус.

Сравнивая данное уравнение с каноническим, находим:

• Координаты центра сферы $C$: $(0, 15, -8)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 400$, откуда радиус $R = \sqrt{400} = 20$.

Точка $O$ — начало координат, поэтому ее координаты $O(0, 0, 0)$.

Найдем расстояние от начала координат $O$ до центра сферы $C$ по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(0-0)^2 + (15-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{0 + 225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

По условию, центр сферы $C$ лежит на прямой $OD$, но не на отрезке $OD$. Это означает, что точки $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой (коллинеарны), и точка $C$ не находится между точками $O$ и $D$. Существуют два возможных порядка расположения этих трех точек на прямой, при которых $C$ не лежит на отрезке $OD$:

1. Точка $D$ лежит между $O$ и $C$. Порядок точек: $O-D-C$.
2. Точка $O$ лежит между $C$ и $D$. Порядок точек: $C-O-D$.

Расстояние от любой точки на сфере до ее центра равно радиусу. Следовательно, расстояние $CD = R = 20$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если порядок точек $O-D-C$, то расстояние $OC$ равно сумме расстояний $OD$ и $DC$: $OC = OD + DC$ $17 = OD + 20$ $OD = 17 - 20 = -3$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.
2. Если порядок точек $C-O-D$, то расстояние $CD$ равно сумме расстояний $CO$ и $OD$: $CD = CO + OD$ $20 = 17 + OD$ $OD = 20 - 17 = 3$. Это значение является положительным и, следовательно, возможным.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до начала координат равно 3.

Ответ: 3

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $F (5; -7; 1)$, центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен $\sqrt{66}$.

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $F (5; -7; 1)$, центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен $\sqrt{66}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Согласно условию, центр сферы принадлежит оси абсцисс (оси Ox), следовательно, его координаты можно записать как $C(x_0; 0; 0)$.

Радиус сферы равен $R = \sqrt{66}$, значит, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{66})^2 = 66$.

Подставим известные данные в общее уравнение сферы:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 66$

$(x - x_0)^2 + y^2 + z^2 = 66$

Сфера проходит через точку $F(5; -7; 1)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению сферы. Подставим их в уравнение, чтобы найти координату $x_0$ центра:

$(5 - x_0)^2 + (-7)^2 + 1^2 = 66$

Раскроем квадраты и решим уравнение относительно $x_0$:

$(5 - x_0)^2 + 49 + 1 = 66$

$(5 - x_0)^2 + 50 = 66$

$(5 - x_0)^2 = 66 - 50$

$(5 - x_0)^2 = 16$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $5 - x_0 = 4$

$x_0 = 5 - 4 = 1$

В этом случае центр сферы — точка $C_1(1; 0; 0)$. Уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 66$

2) $5 - x_0 = -4$

$x_0 = 5 - (-4) = 9$

В этом случае центр сферы — точка $C_2(9; 0; 0)$. Уравнение сферы:

$(x - 9)^2 + y^2 + z^2 = 66$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две сферы.

Ответ: $(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 66$ или $(x - 9)^2 + y^2 + z^2 = 66$.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, его необходимо привести к каноническому виду: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$.

Сгруппируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 4x) + y^2 + (z^2 + 8z) + 11 = 0$.

Далее, для выражений в скобках выделим полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности/суммы: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для группы с переменной $x$:

$x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.

Для группы с переменной $y$:

$y^2 = (y - 0)^2$.

Для группы с переменной $z$:

$z^2 + 8z = (z^2 + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (z + 4)^2 - 16$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + (y - 0)^2 + ((z + 4)^2 - 16) + 11 = 0$.

Упростим уравнение, собрав все числовые члены:

$(x - 2)^2 + y^2 + (z + 4)^2 - 4 - 16 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 + (z + 4)^2 - 9 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z + 4)^2 = 9$.

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения $9 > 0$, это уравнение задает сферу в трехмерном пространстве. Таким образом, доказано, что исходное уравнение является уравнением сферы.

Теперь определим координаты центра и радиус этой сферы, сравнивая наше уравнение с канонической формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из сравнения видно, что:

$x_0 = 2$

$y_0 = 0$

$z_0 = -4$

$R^2 = 9$, следовательно, $R = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, центр сферы находится в точке с координатами (2; 0; -4), а ее радиус равен 3.

Ответ: Координаты центра сферы — (2; 0; -4), радиус сферы — 3.

181. Радиус сферы равен 25 см. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 20 см. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

181. Радиус сферы равен 25 см. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 20 см. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Линия пересечения сферы с плоскостью представляет собой окружность. Для того чтобы найти ее длину, необходимо сначала определить радиус этой окружности.

Рассмотрим сечение сферы, проходящее через ее центр и перпендикулярное к секущей плоскости. В этом сечении мы получим большой круг (окружность радиуса $R$) и хорду, которая является диаметром окружности пересечения. Радиус сферы ($R$), расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) и радиус окружности в сечении ($r$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус сферы $R = 25$ см;
• один катет — это расстояние от центра сферы до плоскости $d = 20$ см;
• второй катет — это искомый радиус окружности сечения $r$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$

Выразим из этой формулы $r^2$ и подставим известные значения: $r^2 = R^2 - d^2$ $r^2 = 25^2 - 20^2$ $r^2 = 625 - 400$ $r^2 = 225$ $r = \sqrt{225}$ $r = 15$ см

Теперь, зная радиус окружности сечения $r = 15$ см, найдем ее длину $C$ (длину линии пересечения) по формуле длины окружности: $C = 2\pi r$

Подставим значение радиуса $r$: $C = 2\pi \cdot 15 = 30\pi$ см

Ответ: $30\pi$ см

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 45°. Найдите площадь большого круга шара, если радиус проведённого сечения равен 5 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $45^\circ$. Найдите площадь большого круга шара, если радиус проведённого сечения равен 5 см.

Пусть $O$ - центр шара, а $R$ - его радиус. Пусть $OA$ - радиус, через конец которого (точку $A$) проведена секущая плоскость $\alpha$. В результате сечения шара этой плоскостью образуется круг. Обозначим центр этого круга как $C$, а его радиус как $r$. По условию задачи, радиус сечения $r = AC = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Отрезок $OC$ соединяет центр шара с центром сечения, поэтому он перпендикулярен плоскости сечения $\alpha$. Следовательно, $OC \perp AC$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике:

• $OA = R$ (гипотенуза) - радиус шара.
• $AC = r = 5$ см (катет) - радиус сечения.
• $OC$ (катет) - расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Угол между прямой (радиусом $OA$) и плоскостью ($\alpha$) - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $OA$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC$. Таким образом, угол между радиусом $OA$ и плоскостью сечения - это угол $\angle OAC$. По условию, $\angle OAC = 45^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ мы можем найти гипотенузу $R$, зная катет $AC$ и прилежащий острый угол $\angle OAC$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos(\angle OAC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{OA}$

Подставим известные значения:

$\cos(45^\circ) = \frac{r}{R} = \frac{5}{R}$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выразим $R$:

$R = \frac{5}{\cos(45^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ - радиус самого шара.

Подставим найденное значение радиуса шара в формулу площади:

$S = \pi (5\sqrt{2})^2 = \pi (5^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (25 \cdot 2) = 50\pi$ см$^2$.

Ответ: $50\pi$ см$^2$.

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{3}{5}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{3}{5}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Площадь большого круга шара, который является сечением, проходящим через центр шара, вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Любое сечение шара плоскостью представляет собой круг. Пусть радиус этого круга равен $r$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна $\pi r^2$. По условию задачи нам дано, что $S_{сеч} = \frac{3}{5}S$.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив в него выражения для площадей $S$ и $S_{сеч}$:$\pi r^2 = \frac{3}{5}(\pi R^2)$.

Сократив обе части уравнения на $\pi$, мы получим соотношение между квадратами радиусов сечения и шара:$r^2 = \frac{3}{5}R^2$.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны теоремой Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус шара $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние $d$ — катетами. Следовательно:$d^2 + r^2 = R^2$.

Выразим из этого уравнения квадрат искомого расстояния $d^2$:$d^2 = R^2 - r^2$.

Подставим в полученное уравнение найденное ранее выражение для $r^2$:$d^2 = R^2 - \frac{3}{5}R^2 = (1 - \frac{3}{5})R^2 = \frac{2}{5}R^2$.

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей последнего равенства:$d = \sqrt{\frac{2}{5}R^2} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $R\sqrt{\frac{2}{5}}$, где $R$ — радиус шара.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $4 : 5 : 9$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $4 : 5 : 9$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть диаметр шара равен $D$, а его радиус равен $R$.

Согласно условию, диаметр разделен двумя точками на три последовательные части, длины которых относятся как $4:5:9$. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины этих трех частей будут равны $4k$, $5k$ и $9k$.

Сумма длин этих частей равна диаметру шара:

$D = 4k + 5k + 9k = 18k$

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{18k}{2} = 9k$

Для нахождения радиусов сечений разместим центр шара в начале координат $O(0)$. Пусть диаметр лежит на оси Ox, тогда его концы находятся в точках с координатами $-R$ и $R$, то есть $-9k$ и $9k$.

Найдем координаты двух точек, которые делят диаметр. Пусть первая точка $M_1$ находится на расстоянии $4k$ от левого конца диаметра (точки $-9k$). Ее координата будет:

$x_1 = -9k + 4k = -5k$

Вторая точка $M_2$ находится на расстоянии $5k$ от первой точки $M_1$. Ее координата:

$x_2 = -5k + 5k = 0$

Расстояние от второй точки до правого конца диаметра (точки $9k$) равно $9k - 0 = 9k$, что соответствует третьей части. Таким образом, координаты точек деления: $-5k$ и $0$.

Сечения шара проходят через эти точки перпендикулярно диаметру. Расстояния $h$ от центра шара до плоскостей этих сечений равны модулям координат точек деления:

• Для первого сечения: $h_1 = |-5k| = 5k$
• Для второго сечения: $h_2 = |0| = 0$ (это сечение проходит через центр шара и является большим кругом)

Площадь $S$ сечения шара радиуса $R$ плоскостью, удаленной от центра на расстояние $h$, вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус сечения. По теореме Пифагора, $r^2 = R^2 - h^2$.

Найдем площади двух сечений.

Площадь первого сечения $S_1$:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi ((9k)^2 - (5k)^2) = \pi (81k^2 - 25k^2) = 56\pi k^2$

Площадь второго сечения $S_2$:

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi ((9k)^2 - 0^2) = \pi (81k^2) = 81\pi k^2$

Теперь найдем отношение площадей этих сечений:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{56\pi k^2}{81\pi k^2} = \frac{56}{81}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно $56:81$.

Ответ: $56:81$.

185. Вершины квадрата лежат на поверхности шара, радиус которого равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата, если его сторона равна 8 см.

185. Вершины квадрата лежат на поверхности шара, радиус которого равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата, если его сторона равна 8 см.

Пусть $R$ - радиус шара, $a$ - сторона квадрата, а $h$ - искомое расстояние от центра шара до плоскости квадрата. Так как вершины квадрата лежат на поверхности шара, это означает, что квадрат вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью, в которой лежит квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• радиусом шара $R$, проведенным к одной из вершин квадрата (это гипотенуза);
• искомым расстоянием $h$ от центра шара до плоскости квадрата (это один катет);
• радиусом $r$ окружности, описанной около квадрата (это второй катет).

По теореме Пифагора, эти величины связаны соотношением: $R^2 = h^2 + r^2$.

По условию задачи, радиус шара $R = 7$ см, а сторона квадрата $a = 8$ см.

Найдем радиус $r$ окружности, описанной около квадрата. Этот радиус равен половине диагонали квадрата. Сначала вычислим диагональ $d$ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$:$d = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности $r$:$r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Подставим известные значения $R$ и $r$ в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти $h$:$h^2 = R^2 - r^2$$h^2 = 7^2 - (4\sqrt{2})^2$$h^2 = 49 - (16 \cdot 2)$$h^2 = 49 - 32$$h^2 = 17$$h = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.

186. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом $135^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

186. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом 135° лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

Пусть вершины треугольника лежат в плоскости $\alpha$. Так как все они находятся на поверхности шара, то плоскость $\alpha$ пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной для данного треугольника.

Обозначим радиус шара как $R$, радиус описанной окружности треугольника как $r$, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника как $d$. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, они связаны соотношением:
$R^2 = d^2 + r^2$

Из условия задачи нам известно, что расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d = 1$ см. Чтобы найти радиус шара $R$, нам необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:
$2r = \frac{a}{\sin A}$
где $a$ — сторона треугольника, а $A$ — противолежащий ей угол.

По условию, нам дана сторона $a = 4$ см и противолежащий ей угол $A = 135^\circ$. Найдем значение синуса этого угла:
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу и найдем $r$:
$2r = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$
$r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная $d = 1$ см и $r = 2\sqrt{2}$ см, мы можем найти радиус шара $R$ по формуле $R^2 = d^2 + r^2$:
$R^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$
$R = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.