Страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. В правильной шестиугольной призме диагональ боковой грани равна 13 см, а площадь боковой поверхности – $360\text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной шестиугольной призме диагональ боковой грани равна 13 см, а площадь боковой поверхности – $360 \, \text{см}^2$. Найдите объём призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — её высота. Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн} = 6a$. Таким образом, $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6ah$. По условию $S_{бок} = 360 \text{ см}^2$, следовательно, $6ah = 360$, откуда получаем уравнение $ah = 60$.

Диагональ боковой грани $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $h$. По теореме Пифагора: $a^2 + h^2 = d^2$. По условию $d = 13 \text{ см}$, значит, мы получаем второе уравнение $a^2 + h^2 = 13^2 = 169$.

Для нахождения $a$ и $h$ решим систему уравнений:

$ah = 60$

$a^2 + h^2 = 169$

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$. Подставим известные значения: $(a+h)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$. Так как $a$ и $h$ — длины, их сумма положительна, поэтому $a+h = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть более простая система: $a+h=17$ и $ah=60$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $h$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 17t + 60 = 0$. Решим его:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{17 - 7}{2} = 5$

$t_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12$

Таким образом, мы имеем два возможных случая для размеров призмы:

1. Сторона основания $a = 5 \text{ см}$ и высота $h = 12 \text{ см}$.

2. Сторона основания $a = 12 \text{ см}$ и высота $h = 5 \text{ см}$.

Объем призмы $V$ находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания $S_{осн}$, которое является правильным шестиугольником, вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Рассчитаем объем для каждого случая.

Случай 1: $a = 5 \text{ см}$, $h = 12 \text{ см}$.

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{75\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

$V_1 = S_{осн} \cdot h = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 75\sqrt{3} \cdot 6 = 450\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Случай 2: $a = 12 \text{ см}$, $h = 5 \text{ см}$.

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 3\sqrt{3} \cdot 72 = 216\sqrt{3} \text{ см}^2$.

$V_2 = S_{осн} \cdot h = 216\sqrt{3} \cdot 5 = 1080\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Задача имеет два возможных решения, так как оба набора измерений удовлетворяют условиям.

Ответ: $450\sqrt{3} \text{ см}^3$ или $1080\sqrt{3} \text{ см}^3$.

245. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

245. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат.

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании данной призмы, равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь основания данной призмы (квадрата со стороной $a$) равна $S_1 = a^2$.
Тогда её объём, по условию равный $V$, составляет: $V = S_1 \cdot h = a^2h$.

Новая призма, согласно условию, имеет вершины в серединах сторон оснований данной призмы. Это означает, что высота новой призмы совпадает с высотой исходной и равна $h$. Основанием новой призмы является многоугольник, вершины которого — середины сторон квадрата, лежащего в основании исходной призмы.

Соединив последовательно середины сторон квадрата, мы получим новый квадрат. Чтобы найти его площадь $S_2$, можно из площади исходного квадрата $S_1$ вычесть площади четырёх равных прямоугольных треугольников, которые отсекаются по углам.

Каждый такой треугольник является равнобедренным, его катеты равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{a}{2}$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Так как таких треугольников четыре, их общая площадь составляет $4 \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{2}$.

Тогда площадь нового основания $S_2$ равна: $S_2 = S_1 - \frac{a^2}{2} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы: $S_2 = \frac{S_1}{2}$.

Теперь найдем объём новой призмы $V_{нов}$, учитывая, что её высота также равна $h$: $V_{нов} = S_2 \cdot h = \frac{a^2}{2} \cdot h = \frac{1}{2} (a^2h)$.

Поскольку $V = a^2h$, то получаем: $V_{нов} = \frac{1}{2}V$.

Ответ: $\frac{V}{2}$

246. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

246. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами.
$S_{осн} = a^2 \sin \alpha$.

2. Найдём высоту призмы.
Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данная прямая призма. Основание $ABCD$ — ромб, $\angle BAD = \alpha$ — тупой угол. В ромбе диагональ, лежащая против тупого угла, является большей. Следовательно, большая диагональ основания — $BD$.
Сечение проходит через большую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину тупого угла верхнего основания. Вершины тупых углов верхнего основания — $A_1$ и $C_1$. Возьмём вершину $A_1$. Сечением является равнобедренный треугольник $A_1BD$ ($A_1B = A_1D$).
Угол $\beta$ — это угол между плоскостью сечения $(A_1BD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол равен линейному углу двугранного угла, образованного этими плоскостями.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, $AO \perp BD$. $A_1O$ — медиана в равнобедренном треугольнике $A_1BD$, проведённая к основанию, следовательно, $A_1O$ является и высотой, т.е. $A_1O \perp BD$.
Таким образом, $\angle A_1OA$ — линейный угол двугранного угла, и по условию $\angle A_1OA = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OA$ (т.к. призма прямая, $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит $AA_1 \perp AO$). Катет $AA_1$ является высотой призмы $H$.
$H = AA_1 = AO \cdot \tan(\angle A_1OA) = AO \cdot \tan \beta$.
Найдём длину $AO$. $AO$ — это половина меньшей диагонали $AC$. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $AOB$ находим:
$AO = AB \cdot \cos(\angle BAO) = a \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Подставим это значение в формулу для высоты:
$H = a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.

3. Найдём объём призмы.
$V = S_{осн} \cdot H = (a^2 \sin \alpha) \cdot (a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta) = a^3 \sin \alpha \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.
$V = a^3 \left(2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})\right) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta = 2a^3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.

Ответ: $2a^3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.

247. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Стороны основания $ABCD$ равны $AB = 4\sqrt{3}$ см и $BC = 4$ см. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания. Так как в основании лежит прямоугольник, его площадь равна произведению сторон:$S_{осн} = AB \cdot BC = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда $h = BB_1$. Угол между плоскостью сечения $(AB_1C)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол между ними. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AC$.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. В плоскости основания $(ABC)$ проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к прямой $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, следовательно, $BH$ является проекцией наклонной $B_1H$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой ($BH$) перпендикулярна другой прямой ($AC$), то и сама наклонная ($B_1H$) перпендикулярна этой прямой ($AC$). Значит, $B_1H \perp AC$.

Так как $BH \perp AC$ и $B_1H \perp AC$, то угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AB_1C)$ и $(ABC)$. По условию задачи, $\angle B_1HB = 60^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BH$. Он прямоугольный, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости, т.е. $BB_1 \perp BH$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle B_1HB) = \frac{BB_1}{BH}$Отсюда высота параллелепипеда $h = BB_1 = BH \cdot \tan(60^\circ) = BH \cdot \sqrt{3}$.

4. Найдем длину высоты $BH$ из треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($ \angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 = 16 \cdot 3 + 16 = 48 + 16 = 64$$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти двумя способами:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$ см$^2$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BH = 4 \cdot BH$.Приравняв эти два выражения для площади, получим:$4 \cdot BH = 8\sqrt{3}$$BH = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

5. Теперь можем вычислить высоту параллелепипеда $h$:$h = BH \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

6. Наконец, находим объем параллелепипеда:$V = S_{осн} \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot 6 = 96\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $96\sqrt{3}$ см$^3$.

248. Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом 120°. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом $120^\circ$. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: найти площадь основания и найти высоту призмы.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием призмы является равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны 6 см, а угол между ними составляет 120°. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Подставим наши значения: $a = 6$ см, $b = 6$ см, $\gamma = 120°$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120°)$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты призмы ($H$)

Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $L$ и углом наклона ребра к плоскости основания $\alpha$. Боковое ребро, высота и проекция ребра на основание образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой, а высота — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Следовательно, высота вычисляется по формуле:

$H = L \cdot \sin(\alpha)$

По условию задачи, длина бокового ребра $L = 4$ см, а угол наклона $\alpha = 30°$.

Подставляем значения:

$H = 4 \cdot \sin(30°)$

Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$H = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

3. Вычисление объема призмы ($V$)

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot 2 = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см³.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Боковое ребро призмы равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Боковое ребро призмы равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение высоты призмы H.

Пусть нижнее основание призмы — правильный треугольник $ABC$, а верхнее — $A_1B_1C_1$. Длина бокового ребра, например $A_1A$, равна $b$. По условию, проекцией вершины $A_1$ на плоскость нижнего основания является его центр — точка $O$. Следовательно, отрезок $A_1O$ является высотой призмы $H$, то есть $A_1O \perp (ABC)$ и $H = |A_1O|$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOA_1$, где:

• $A_1A = b$ — гипотенуза (боковое ребро).
• $A_1O = H$ — катет, противолежащий углу $\beta$.
• $AO$ — катет (проекция бокового ребра на плоскость основания).
• $\angle A_1AO = \beta$ — угол между боковым ребром $A_1A$ и его проекцией $AO$, что по определению является углом между ребром и плоскостью основания.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим высоту $H$:

$H = A_1A \cdot \sin(\angle A_1AO) = b \sin(\beta)$.

2. Нахождение площади основания $S_{осн}$.

Основанием является правильный треугольник $ABC$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Чтобы найти площадь, необходимо определить длину стороны $a$.

Из того же прямоугольного треугольника $AOA_1$ найдем длину проекции $AO$:

$AO = A_1A \cdot \cos(\angle A_1AO) = b \cos(\beta)$.

Точка $O$ является центром правильного треугольника $ABC$, поэтому отрезок $AO$ — это радиус $R$ окружности, описанной около этого треугольника. Для правильного треугольника со стороной $a$ и радиусом описанной окружности $R$ справедливо соотношение $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда выразим сторону $a$ через $R$ (и, соответственно, через $b$ и $\beta$):

$a = R\sqrt{3} = (b \cos(\beta))\sqrt{3} = b\sqrt{3}\cos(\beta)$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b\sqrt{3}\cos(\beta))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b^2 \cdot 3 \cdot \cos^2(\beta)) \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2(\beta)$.

3. Нахождение объёма призмы V.

Подставим найденные значения высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2(\beta)\right) \cdot (b \sin(\beta))$.

Упрощая выражение, получаем:

$V = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 2 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $BB_1$ равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 2 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $BB_1$ равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения (сечения, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам).

По условию задачи, длина бокового ребра $L = 8$ см.

Перпендикулярное сечение данного параллелепипеда представляет собой параллелограмм. Длины его смежных сторон равны расстояниям между соответствующими боковыми ребрами, а угол между этими сторонами равен двугранному углу при общем ребре этих граней.Таким образом, стороны перпендикулярного сечения равны $a = 2$ см (расстояние между $AA_1$ и $BB_1$) и $b = 3$ см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$), а угол между ними составляет $\gamma = 45^\circ$ (двугранный угол при ребре $BB_1$).

Площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ равна площади этого параллелограмма и вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$:
$S_{\perp} = 2 \cdot 3 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см².

Теперь можем найти объем параллелепипеда:
$V = S_{\perp} \cdot L = 3\sqrt{2} \cdot 8 = 24\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см³.

251. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = 8$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ равно 8 см и образует с каждой из сторон $AB$ и $BC$ угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = 8$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ равно 8 см и образует с каждой из сторон $AB$ и $BC$ угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является ромб $ABCD$ со стороной $AB = 8$ см и углом $\angle ABC = 60^\circ$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin\alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между смежными сторонами.

$S_{осн} = AB^2 \cdot \sin(\angle ABC) = 8^2 \cdot \sin(60^\circ) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы.

Пусть $B_1O$ — высота призмы, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$. Тогда $H = B_1O$. Отрезок $BO$ является проекцией бокового ребра $BB_1$ на плоскость основания.

По условию, боковое ребро $BB_1$ образует равные углы со сторонами $AB$ и $BC$ ($\angle B_1BA = \angle B_1BC = 45^\circ$). Это означает, что точка $B_1$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Следовательно, ее проекция — точка $O$ — также равноудалена от этих прямых и лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

В ромбе диагональ является биссектрисой его угла, поэтому точка $O$ лежит на диагонали $BD$. Угол между диагональю $BD$ и стороной $AB$ равен половине угла ромба: $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим нахождение длины проекции $BO$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OP$ к стороне $AB$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $B_1O \perp (ABC)$ и $OP \perp AB$, то и наклонная $B_1P \perp AB$.

Таким образом, $\triangle B_1PB$ — прямоугольный. Угол между ребром $BB_1$ и стороной $AB$ — это $\angle B_1BP = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1PB$ найдем катет $BP$:

$BP = BB_1 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BPO$ в плоскости основания ($\angle BPO = 90^\circ$). Мы знаем катет $BP$ и угол $\angle PBO = \angle ABD = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $BO$:

$BO = \frac{BP}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, из прямоугольного треугольника $\triangle B_1OB$ ($\angle B_1OB = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем высоту призмы $H = B_1O$:

$H^2 = B_1O^2 = BB_1^2 - BO^2 = 8^2 - \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 64 - \frac{64 \cdot 6}{9} = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3}$.

$H = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем объем призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 32\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32 \cdot 8 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{256 \cdot 3}{3} = 256$ см$^3$.

Ответ: $256$ см$^3$.