Номер 246, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

246. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами.
$S_{осн} = a^2 \sin \alpha$.

2. Найдём высоту призмы.
Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данная прямая призма. Основание $ABCD$ — ромб, $\angle BAD = \alpha$ — тупой угол. В ромбе диагональ, лежащая против тупого угла, является большей. Следовательно, большая диагональ основания — $BD$.
Сечение проходит через большую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину тупого угла верхнего основания. Вершины тупых углов верхнего основания — $A_1$ и $C_1$. Возьмём вершину $A_1$. Сечением является равнобедренный треугольник $A_1BD$ ($A_1B = A_1D$).
Угол $\beta$ — это угол между плоскостью сечения $(A_1BD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол равен линейному углу двугранного угла, образованного этими плоскостями.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, $AO \perp BD$. $A_1O$ — медиана в равнобедренном треугольнике $A_1BD$, проведённая к основанию, следовательно, $A_1O$ является и высотой, т.е. $A_1O \perp BD$.
Таким образом, $\angle A_1OA$ — линейный угол двугранного угла, и по условию $\angle A_1OA = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OA$ (т.к. призма прямая, $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит $AA_1 \perp AO$). Катет $AA_1$ является высотой призмы $H$.
$H = AA_1 = AO \cdot \tan(\angle A_1OA) = AO \cdot \tan \beta$.
Найдём длину $AO$. $AO$ — это половина меньшей диагонали $AC$. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $AOB$ находим:
$AO = AB \cdot \cos(\angle BAO) = a \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Подставим это значение в формулу для высоты:
$H = a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.

3. Найдём объём призмы.
$V = S_{осн} \cdot H = (a^2 \sin \alpha) \cdot (a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta) = a^3 \sin \alpha \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.
$V = a^3 \left(2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})\right) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta = 2a^3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.

Ответ: $2a^3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$.