Номер 249, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Боковое ребро призмы равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник. Боковое ребро призмы равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение высоты призмы H.

Пусть нижнее основание призмы — правильный треугольник $ABC$, а верхнее — $A_1B_1C_1$. Длина бокового ребра, например $A_1A$, равна $b$. По условию, проекцией вершины $A_1$ на плоскость нижнего основания является его центр — точка $O$. Следовательно, отрезок $A_1O$ является высотой призмы $H$, то есть $A_1O \perp (ABC)$ и $H = |A_1O|$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOA_1$, где:

• $A_1A = b$ — гипотенуза (боковое ребро).
• $A_1O = H$ — катет, противолежащий углу $\beta$.
• $AO$ — катет (проекция бокового ребра на плоскость основания).
• $\angle A_1AO = \beta$ — угол между боковым ребром $A_1A$ и его проекцией $AO$, что по определению является углом между ребром и плоскостью основания.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим высоту $H$:

$H = A_1A \cdot \sin(\angle A_1AO) = b \sin(\beta)$.

2. Нахождение площади основания $S_{осн}$.

Основанием является правильный треугольник $ABC$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Чтобы найти площадь, необходимо определить длину стороны $a$.

Из того же прямоугольного треугольника $AOA_1$ найдем длину проекции $AO$:

$AO = A_1A \cdot \cos(\angle A_1AO) = b \cos(\beta)$.

Точка $O$ является центром правильного треугольника $ABC$, поэтому отрезок $AO$ — это радиус $R$ окружности, описанной около этого треугольника. Для правильного треугольника со стороной $a$ и радиусом описанной окружности $R$ справедливо соотношение $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда выразим сторону $a$ через $R$ (и, соответственно, через $b$ и $\beta$):

$a = R\sqrt{3} = (b \cos(\beta))\sqrt{3} = b\sqrt{3}\cos(\beta)$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b\sqrt{3}\cos(\beta))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b^2 \cdot 3 \cdot \cos^2(\beta)) \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2(\beta)$.

3. Нахождение объёма призмы V.

Подставим найденные значения высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2(\beta)\right) \cdot (b \sin(\beta))$.

Упрощая выражение, получаем:

$V = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.