Номер 254, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 8 раз меньше высоты, а сторона основания в 10 раз больше стороны основания данной пирамиды?

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 8 раз меньше высоты, а сторона основания в 10 раз больше стороны основания данной пирамиды?

Объём правильной n-угольной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{1}$ — объём исходной пирамиды, $S_{1}$ — площадь её основания, $H_{1}$ — её высота, а $a_{1}$ — сторона её основания. По условию, объём этой пирамиды равен $V$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} S_{1} \cdot H_{1}$.

Площадь любого правильного n-угольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Это можно записать как $S = k \cdot a^2$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который зависит только от количества сторон $n$. Следовательно, для основания исходной пирамиды: $S_{1} = k \cdot a_{1}^2$.

Теперь рассмотрим новую пирамиду. Обозначим её объём, площадь основания, высоту и сторону основания как $V_{2}$, $S_{2}$, $H_{2}$ и $a_{2}$ соответственно.

Согласно условию задачи, высота новой пирамиды в 8 раз меньше высоты исходной: $H_{2} = \frac{H_{1}}{8}$.

Сторона основания новой пирамиды в 10 раз больше стороны основания исходной: $a_{2} = 10 \cdot a_{1}$.

Найдём площадь основания новой пирамиды, используя ту же зависимость от стороны: $S_{2} = k \cdot a_{2}^2 = k \cdot (10 \cdot a_{1})^2 = k \cdot 100 \cdot a_{1}^2 = 100 \cdot (k \cdot a_{1}^2) = 100 \cdot S_{1}$. Это означает, что площадь основания новой пирамиды в 100 раз больше площади основания исходной.

Теперь мы можем вычислить объём новой пирамиды $V_{2}$: $V_{2} = \frac{1}{3} S_{2} \cdot H_{2}$.

Подставим в эту формулу выражения для $S_{2}$ и $H_{2}$ через $S_{1}$ и $H_{1}$: $V_{2} = \frac{1}{3} (100 \cdot S_{1}) \cdot \left(\frac{H_{1}}{8}\right)$.

Сгруппируем числовые коэффициенты и оставшуюся часть выражения: $V_{2} = \frac{100}{8} \cdot \left(\frac{1}{3} S_{1} \cdot H_{1}\right)$.

Выражение в скобках представляет собой объём исходной пирамиды, то есть $V$. Таким образом, мы можем найти $V_2$: $V_{2} = \frac{100}{8} \cdot V = \frac{25}{2} \cdot V = 12.5 V$.

Ответ: $12.5V$.