Номер 250, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 2 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $BB_1$ равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 2 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $BB_1$ равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения (сечения, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам).

По условию задачи, длина бокового ребра $L = 8$ см.

Перпендикулярное сечение данного параллелепипеда представляет собой параллелограмм. Длины его смежных сторон равны расстояниям между соответствующими боковыми ребрами, а угол между этими сторонами равен двугранному углу при общем ребре этих граней.Таким образом, стороны перпендикулярного сечения равны $a = 2$ см (расстояние между $AA_1$ и $BB_1$) и $b = 3$ см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$), а угол между ними составляет $\gamma = 45^\circ$ (двугранный угол при ребре $BB_1$).

Площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ равна площади этого параллелограмма и вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$:
$S_{\perp} = 2 \cdot 3 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см².

Теперь можем найти объем параллелепипеда:
$V = S_{\perp} \cdot L = 3\sqrt{2} \cdot 8 = 24\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см³.