Номер 252, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Две его боковые грани — квадраты со стороной 4 см, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $4 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$. Две его боковые грани — квадраты со стороной $4 \text{ см}$, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Найдем площадь основания

Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Его площадь $S_{осн}$ равна произведению его сторон:

$S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

Найдем высоту параллелепипеда

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный наклонный параллелепипед, где $ABCD$ — прямоугольное основание со сторонами $AB=4$ см и $AD=3$ см.

По условию, две боковые грани являются квадратами со стороной 4 см. Это могут быть только грани, примыкающие к сторонам основания длиной 4 см, то есть грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$. Из этого следует, что:

1. Длина бокового ребра равна 4 см (например, $AA_1 = 4$ см).
2. Боковые ребра перпендикулярны сторонам $AB$ и $CD$ (например, угол $\angle A_1AB = 90^\circ$).

Две другие боковые грани ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$) — это параллелограммы с острым углом $30^\circ$. Это означает, что угол между боковым ребром и другой стороной основания равен $30^\circ$. Например, $\angle A_1AD = 30^\circ$.

Для нахождения высоты $H$ параллелепипеда (длины перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$) можно рассмотреть пространственную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат (0, 0, 0). Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. Так как основание — прямоугольник, оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны. Плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна этой плоскости.

Высота $H$ будет равна аппликате (координате $z$) вершины $A_1$.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, которые боковое ребро $AA_1$ образует с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Из нашего анализа:

• $\alpha = \angle A_1AB = 90^\circ$
• $\beta = \angle A_1AD = 30^\circ$

Для направляющих косинусов вектора $\vec{AA_1}$ справедливо соотношение:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

Подставим известные значения углов:

$\cos^2(90^\circ) + \cos^2(30^\circ) + \cos^2\gamma = 1$

$0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{3}{4} + \cos^2\gamma = 1$

$\cos^2\gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку высота должна быть положительной, берем положительное значение косинуса (что соответствует острому углу $\gamma$):

$\cos\gamma = \frac{1}{2}$

Высота $H$ — это проекция бокового ребра $AA_1$ на ось $Oz$.

$H = |AA_1| \cdot \cos\gamma = 4 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ см}$

Найдем объем параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 12 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$

Ответ: $24 \text{ см}^3$.