Номер 258, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. По условию, высота этого треугольника равна $h$. Пусть сторона треугольника равна $a$.

Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через высоту $h$: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{осн} = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания является двугранным углом. Его линейная мера — это угол между апофемой (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды) и её проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является радиус вписанной в основание окружности, проведенный в точку касания.

Пусть $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной в основание окружности. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан с его высотой $h$ соотношением: $r = \frac{1}{3}h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$.

Отсюда выразим высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{h}{3}\tan(\alpha)$.

3. Найдем объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{h^2\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{h}{3}\tan(\alpha)\right) = \frac{h^3\sqrt{3}\tan(\alpha)}{27}$.

Ответ: $\frac{h^3\sqrt{3}\tan(\alpha)}{27}$.