Номер 262, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Сторона основания равна $a$, то есть $AB=BC=CD=DA=a$. Объём пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как основание — квадрат со стороной $a$, его площадь равна $S_{осн} = a^2$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} a^2 H$. Для нахождения объёма необходимо определить высоту $H$.

Проведём апофемы $SM$ и $SN$ к сторонам $AB$ и $BC$ соответственно ($M$ и $N$ — середины этих сторон). Так как пирамида правильная, все её апофемы равны: $SM = SN = h_a$. По условию, угол между апофемами смежных боковых граней равен $\alpha$, то есть $\angle MSN = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $MSN$. Он равнобедренный ($SM=SN$). Найдём длину его основания $MN$. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. В прямоугольном треугольнике $MBN$ катеты равны $MB = BN = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $MN^2 = MB^2 + BN^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Следовательно, $MN = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Применим к треугольнику $MSN$ теорему косинусов, чтобы найти длину апофемы $h_a$: $MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$ $(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = h_a^2 + h_a^2 - 2 \cdot h_a \cdot h_a \cdot \cos(\alpha)$ $\frac{a^2}{2} = 2h_a^2 - 2h_a^2\cos(\alpha) = 2h_a^2(1 - \cos(\alpha))$. Используя формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $\frac{a^2}{2} = 2h_a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4h_a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда выражаем квадрат апофемы: $h_a^2 = \frac{a^2}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. Пусть $O$ — центр основания. Высота $H = SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (гипотенуза $SM=h_a$, катеты $SO=H$ и $OM$). Длина катета $OM$ равна половине стороны основания, то есть $OM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $H^2 = SM^2 - OM^2 = h_a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{4}$. Приведём к общему знаменателю: $H^2 = a^2 \left( \frac{1}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \right) = a^2 \frac{1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение: $H^2 = \frac{a^2 \cos(\alpha)}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$. Тогда высота равна: $H = \sqrt{\frac{a^2 \cos(\alpha)}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Подставим найденную высоту в формулу объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} a^2 \left( \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})} \right) = \frac{a^3\sqrt{\cos(\alpha)}}{6\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $V = \frac{a^3\sqrt{\cos(\alpha)}\sqrt{2}}{6\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})\sqrt{2}} = \frac{a^3\sqrt{2\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.