Номер 266, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол: $a = c \sin\alpha$ и $b = c \cos\alpha$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} (c \sin\alpha)(c \cos\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin\alpha \cos\alpha$.Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, получаем:$S_{осн} = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)$.

Далее найдем высоту пирамиды $H$. По условию, все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $\gamma$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на плоскость основания) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу $\gamma$, а катет $R$ прилежит к нему. Таким образом, $\tan\gamma = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan\gamma$.Подставив значение радиуса $R$, получаем:$H = \frac{c}{2} \tan\gamma$.

Теперь, имея выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём пирамиды, подставив их в исходную формулу:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot \left(\frac{c}{2} \tan\gamma\right)$.Перемножив все члены, получаем окончательное выражение для объёма:$V = \frac{c^3 \sin(2\alpha) \tan\gamma}{24}$.

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin(2\alpha) \tan\gamma}{24}$.