Номер 271, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно 26 см.

271. Грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно 26 см.

По условию задачи, грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DAC$ и $DBC$ является ребро $DC$. Следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и, таким образом, $DC$ является высотой пирамиды $H$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. В данном случае $S_{осн} = S_{ABC}$ и $H = DC$.

1. Найдем площадь основания $S_{ABC}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле Герона, зная длины всех его сторон: $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{11 + 30 + 25}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Теперь найдем площадь по формуле Герона:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{33(33-11)(33-30)(33-25)}$

$S_{ABC} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3 \cdot (2^3)} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 33 \cdot 4 = 132$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $DC$.

Расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$ на прямой $AB$. Таким образом, $DK \perp AB$ и $DK = 26$ см.

Рассмотрим отрезок $CK$. Так как $DC$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$ (высота пирамиды), $DK$ — наклонная к этой плоскости, а $CK$ — ее проекция на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и ее проекция $CK$ перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $CK \perp AB$. Это означает, что $CK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Найдем длину высоты $CK$ из формулы площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$

$132 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot CK$

$CK = \frac{132 \cdot 2}{11} = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $DCK$. Так как $DC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CK$. Значит, треугольник $DCK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DC^2 + CK^2$

$DC^2 = DK^2 - CK^2 = 26^2 - 24^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$

$DC = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.

Теперь, когда известны площадь основания $S_{ABC} = 132$ см² и высота $H = DC = 10$ см, мы можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DC = \frac{1}{3} \cdot 132 \cdot 10 = 44 \cdot 10 = 440$ см³.

Ответ: 440 см³.