Номер 277, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёх-угольной пирамиды равны 8 см и 12 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды равен $370 \text{ см}^3$ её высо-

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 12 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площади оснований.

Основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды — это квадраты.
Площадь большего основания (квадрата со стороной $a_1 = 12$ см):
$S_1 = a_1^2 = 12^2 = 144$ см².
Площадь меньшего основания (квадрата со стороной $a_2 = 8$ см):
$S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Найдем высоту усечённой пирамиды.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней). Это сечение является равнобокой трапецией.
Основаниями этой трапеции являются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон оснований пирамиды, их длины равны сторонам оснований: 12 см и 8 см.
Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.
Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором:
- один из острых углов равен $60^\circ$;
- один катет является высотой пирамиды $h$;
- другой катет равен полуразности оснований трапеции: $\frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Из этого прямоугольного треугольника найдём высоту $h$ через тангенс угла:
$h = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (144 + \sqrt{144 \cdot 64} + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot (144 + \sqrt{9216} + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot (144 + 96 + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 304$
$V = \frac{608\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $V = \frac{608\sqrt{3}}{3}$ см³.