Номер 284, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

284. Радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Обозначим радиус основания и высоту первого цилиндра как $r_1$ и $h_1$ соответственно, а радиус и высоту второго цилиндра — как $r_2$ и $h_2$.

Согласно условию задачи, радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго. Это можно записать в виде формулы:
$r_1 = \frac{r_2}{6}$

Также по условию, высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Запишем это в виде формулы:
$h_1 = 4h_2$

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.
Объём первого цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.
Объём второго цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$.

Нам нужно найти отношение объёмов цилиндров. Будем искать отношение объёма первого цилиндра к объёму второго, то есть $\frac{V_1}{V_2}$.
Подставим выражения для объёмов в формулу отношения:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$

Сократим $\pi$ и подставим выражения для $r_1$ и $h_1$ через $r_2$ и $h_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(\frac{r_2}{6})^2 \cdot (4h_2)}{r_2^2 \cdot h_2} = \frac{\frac{r_2^2}{36} \cdot 4h_2}{r_2^2 h_2}$

Теперь можно сократить $r_2^2$ и $h_2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4}{36}$

Упростим полученную дробь:
$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
Таким образом, отношение объёма первого цилиндра к объёму второго равно $\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$