Номер 291, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $30^\circ$. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

291. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $30^\circ$. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$. По условию, одна из сторон основания равна $a = 6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $\alpha = 30^\circ$.

Стороны $a$, $b$ и диагональ $d$ (которая является гипотенузой) образуют прямоугольный треугольник. Найдем вторую сторону $b$ и диагональ $d$ основания, используя тригонометрические соотношения:

$b = a \cdot \tan(\alpha) = 6\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$ см.

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{6\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 12$ см.

Теперь найдем высоту параллелепипеда $h$. Диагональ параллелепипеда, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания, по условию, равен $\beta = 30^\circ$. В этом треугольнике $h$ и $d$ являются катетами. Найдем высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(\beta) = 12 \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, имеет высоту $H$, равную высоте параллелепипеда $h$, и радиус основания $R$, равный половине диагонали основания параллелепипеда $d$.

Высота цилиндра: $H = h = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра: $R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения:

$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 36 \cdot 4\sqrt{3} = 144\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $144\pi\sqrt{3}$ см³.