Номер 287, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна образующей цилиндра, которая по условию составляет $h = 7$ см. Другая сторона, обозначим ее $a$, является хордой в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника-сечения равна $D = 25$ см.

Связь между диагональю прямоугольника и его сторонами описывается теоремой Пифагора: $D^2 = a^2 + h^2$. Подставим известные значения и найдем длину хорды $a$:

$25^2 = a^2 + 7^2$

$625 = a^2 + 49$

$a^2 = 625 - 49 = 576$

$a = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг, в котором проведена хорда длиной $a = 24$ см. Расстояние от центра окружности (оси цилиндра) до этой хорды по условию равно $d = 5$ см. Радиус окружности $R$, расстояние до хорды $d$ и половина длины хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус $R$ является гипотенузой. Снова применим теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим значения $d$ и $a$:

$R^2 = 5^2 + (\frac{24}{2})^2 = 5^2 + 12^2$

$R^2 = 25 + 144 = 169$

$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения объёма цилиндра. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 7 = \pi \cdot 169 \cdot 7 = 1183\pi$ см$^3$.

Ответ: $1183\pi$ см$^3$.