Номер 289, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

289. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$, а угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра равен $\alpha$. Найдите объём цилиндра.

289. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$, а угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра равен $\alpha$. Найдите объём цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Обозначим высоту цилиндра (которая равна его образующей) как $h$, а диаметр основания как $d$. Стороны этого прямоугольника равны $h$ и $d$.

Из условия задачи, периметр этого прямоугольника равен $P$. Формула периметра прямоугольника:

$P = 2(h + d)$

Также известно, что угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра (стороной $h$) равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $h$, $d$ и диагональю, отношение противолежащего катета ($d$) к прилежащему катету ($h$) равно тангенсу угла $\alpha$:

$\tan{\alpha} = \frac{d}{h}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($h$ и $d$):

$\begin{cases} 2(h + d) = P \\ \frac{d}{h} = \tan{\alpha} \end{cases}$

Выразим $d$ из второго уравнения:

$d = h \cdot \tan{\alpha}$

Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы найти $h$:

$2(h + h \cdot \tan{\alpha}) = P$

$2h(1 + \tan{\alpha}) = P$

$h = \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})}$

Теперь, зная $h$, найдем $d$:

$d = h \cdot \tan{\alpha} = \frac{P \cdot \tan{\alpha}}{2(1 + \tan{\alpha})}$

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания.

Поскольку радиус $R = \frac{d}{2}$, формулу можно переписать через диаметр:

$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}$

Подставим найденные выражения для $h$ и $d$ в формулу объёма:

$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{P \tan{\alpha}}{2(1 + \tan{\alpha})} \right)^2 \left( \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})} \right)$

$V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{P^2 \tan^2{\alpha}}{4(1 + \tan{\alpha})^2} \cdot \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})}$

$V = \frac{\pi P^3 \tan^2{\alpha}}{32(1 + \tan{\alpha})^3}$

Ответ: $V = \frac{\pi P^3 \tan^2{\alpha}}{32(1 + \tan{\alpha})^3}$