Страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна образующей цилиндра, которая по условию составляет $h = 7$ см. Другая сторона, обозначим ее $a$, является хордой в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника-сечения равна $D = 25$ см.

Связь между диагональю прямоугольника и его сторонами описывается теоремой Пифагора: $D^2 = a^2 + h^2$. Подставим известные значения и найдем длину хорды $a$:

$25^2 = a^2 + 7^2$

$625 = a^2 + 49$

$a^2 = 625 - 49 = 576$

$a = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг, в котором проведена хорда длиной $a = 24$ см. Расстояние от центра окружности (оси цилиндра) до этой хорды по условию равно $d = 5$ см. Радиус окружности $R$, расстояние до хорды $d$ и половина длины хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус $R$ является гипотенузой. Снова применим теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим значения $d$ и $a$:

$R^2 = 5^2 + (\frac{24}{2})^2 = 5^2 + 12^2$

$R^2 = 25 + 144 = 169$

$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения объёма цилиндра. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 7 = \pi \cdot 169 \cdot 7 = 1183\pi$ см$^3$.

Ответ: $1183\pi$ см$^3$.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра верхнего основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра верх-него основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности ниж-него основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту как $H$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Для нахождения объема нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные в условии величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $O_1$ – центр верхнего основания, а $O_2$ – центр нижнего основания. Пусть $AB$ – хорда в нижнем основании, с длиной $|AB| = a$. По условию, хорду видно из центра верхнего основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $AO_1B$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а $O_1$ – центр верхнего, то отрезки $O_1A$ и $O_1B$ равны. Следовательно, треугольник $AO_1B$ – равнобедренный. Проведем в нем высоту $O_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, $|AM| = \frac{|AB|}{2} = \frac{a}{2}$ и $\angle AO_1M = \frac{\angle AO_1B}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $AO_1M$ находим длину отрезка $O_1A$:

$\sin(\angle AO_1M) = \frac{|AM|}{|O_1A|}$

$|O_1A| = \frac{|AM|}{\sin(\angle AO_1M)} = \frac{a/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1O_2A$. Его катеты – это высота цилиндра $|O_1O_2| = H$ и радиус основания $|O_2A| = R$. Гипотенуза – это отрезок $|O_1A|$. По теореме Пифагора:

$|O_1A|^2 = |O_1O_2|^2 + |O_2A|^2 = H^2 + R^2$.

Подставим найденное ранее выражение для $|O_1A|$:

$\left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = H^2 + R^2$ (1)

По второму условию задачи, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания (например, $O_1A$), образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией отрезка $O_1A$ на плоскость нижнего основания является радиус $O_2A$. Угол между наклонной и ее проекцией – это $\angle O_1AO_2$. Таким образом, $\angle O_1AO_2 = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $O_1O_2A$ имеем:

$\tan(\beta) = \frac{|O_1O_2|}{|O_2A|} = \frac{H}{R}$.

Отсюда выразим высоту $H$ через радиус $R$:

$H = R \tan(\beta)$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $H$ и $R$. Подставим выражение для $H$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = (R \tan(\beta))^2 + R^2$

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R^2 (\tan^2(\beta) + 1)$.

Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(\beta) = \frac{1}{\cos^2(\beta)}$, получаем:

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R^2 \frac{1}{\cos^2(\beta)}$.

Отсюда находим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Далее найдем высоту $H$, используя уравнение (2) и найденное значение для $R$:

$H = R \tan(\beta) = \sqrt{\frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{a \sin(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Наконец, вычисляем объем цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$:

$V = \pi \cdot \left(\frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}\right) \cdot \left(\frac{a \sin(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)$.

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:

$V = \frac{\pi a^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{8 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{8 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.

289. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$, а угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра равен $\alpha$. Найдите объём цилиндра.

289. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$, а угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра равен $\alpha$. Найдите объём цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Обозначим высоту цилиндра (которая равна его образующей) как $h$, а диаметр основания как $d$. Стороны этого прямоугольника равны $h$ и $d$.

Из условия задачи, периметр этого прямоугольника равен $P$. Формула периметра прямоугольника:

$P = 2(h + d)$

Также известно, что угол между диагональю этого сечения и образующей цилиндра (стороной $h$) равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $h$, $d$ и диагональю, отношение противолежащего катета ($d$) к прилежащему катету ($h$) равно тангенсу угла $\alpha$:

$\tan{\alpha} = \frac{d}{h}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($h$ и $d$):

$\begin{cases} 2(h + d) = P \\ \frac{d}{h} = \tan{\alpha} \end{cases}$

Выразим $d$ из второго уравнения:

$d = h \cdot \tan{\alpha}$

Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы найти $h$:

$2(h + h \cdot \tan{\alpha}) = P$

$2h(1 + \tan{\alpha}) = P$

$h = \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})}$

Теперь, зная $h$, найдем $d$:

$d = h \cdot \tan{\alpha} = \frac{P \cdot \tan{\alpha}}{2(1 + \tan{\alpha})}$

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания.

Поскольку радиус $R = \frac{d}{2}$, формулу можно переписать через диаметр:

$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}$

Подставим найденные выражения для $h$ и $d$ в формулу объёма:

$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{P \tan{\alpha}}{2(1 + \tan{\alpha})} \right)^2 \left( \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})} \right)$

$V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{P^2 \tan^2{\alpha}}{4(1 + \tan{\alpha})^2} \cdot \frac{P}{2(1 + \tan{\alpha})}$

$V = \frac{\pi P^3 \tan^2{\alpha}}{32(1 + \tan{\alpha})^3}$

Ответ: $V = \frac{\pi P^3 \tan^2{\alpha}}{32(1 + \tan{\alpha})^3}$

290. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

290. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

Для нахождения отношения объёма правильной шестиугольной призмы к объёму цилиндра, в который она вписана, необходимо выразить объёмы обеих фигур через общие параметры и найти их частное.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Объём цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн.цил} \cdot h = \pi R^2 h$.

Поскольку призма вписана в цилиндр, её высота также равна $h$, а её основание (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания цилиндра.

Объём призмы ($V_{пр}$) вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h$.

Найдём площадь основания призмы — правильного шестиугольника ($S_{осн.пр}$). Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Таким образом, сторона шестиугольника $a$ равна радиусу основания цилиндра $R$, то есть $a = R$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ можно найти по формуле, которая получается из суммы площадей шести равносторонних треугольников, на которые его можно разбить: $S_{шест} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставив $a = R$, получим площадь основания призмы: $S_{осн.пр} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$.

Теперь можем найти объём призмы: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 h$.

Наконец, найдём искомое отношение объёма призмы к объёму цилиндра: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 h}{\pi R^2 h}$.

Сокращая общие множители $R^2$ и $h$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

291. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $30^\circ$. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

291. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна $6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $30^\circ$. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$. По условию, одна из сторон основания равна $a = 6\sqrt{3}$ см и образует с диагональю основания угол $\alpha = 30^\circ$.

Стороны $a$, $b$ и диагональ $d$ (которая является гипотенузой) образуют прямоугольный треугольник. Найдем вторую сторону $b$ и диагональ $d$ основания, используя тригонометрические соотношения:

$b = a \cdot \tan(\alpha) = 6\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$ см.

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{6\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 12$ см.

Теперь найдем высоту параллелепипеда $h$. Диагональ параллелепипеда, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания, по условию, равен $\beta = 30^\circ$. В этом треугольнике $h$ и $d$ являются катетами. Найдем высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(\beta) = 12 \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, имеет высоту $H$, равную высоте параллелепипеда $h$, и радиус основания $R$, равный половине диагонали основания параллелепипеда $d$.

Высота цилиндра: $H = h = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра: $R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения:

$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 36 \cdot 4\sqrt{3} = 144\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $144\pi\sqrt{3}$ см³.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Объём цилиндра, описанного около прямой призмы, вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы, которая совпадает с высотой цилиндра.

Нахождение высоты призмы H.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник со стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Пусть это треугольник $ABC$, где $AC = BC = b$ и $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$. Призма является прямой, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны основанию, а боковые грани — прямоугольники. Рассмотрим боковую грань, содержащую боковую сторону основания, например, сторону $BC$. Диагональ этой грани наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является сама сторона $BC$. Следовательно, угол $\beta$ — это угол между диагональю и стороной $BC$ в прямоугольном треугольнике, образованном стороной $BC$, боковым ребром (высотой $H$) и этой диагональю. В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота призмы $H$ и сторона основания $b$. Угол между диагональю и катетом $b$ равен $\beta$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует: $\tan(\beta) = \frac{H}{b}$ Отсюда выражаем высоту призмы: $H = b \cdot \tan(\beta)$

Нахождение радиуса R описанной около основания окружности.
Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника-основания, можно найти с помощью теоремы синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Для нашего равнобедренного треугольника $ABC$ мы знаем сторону $BC=b$ и противолежащий ей угол $\angle CAB = \alpha$. Применим теорему синусов: $\frac{BC}{\sin(\angle CAB)} = 2R$ $\frac{b}{\sin(\alpha)} = 2R$ Отсюда выражаем радиус: $R = \frac{b}{2 \sin(\alpha)}$

Вычисление объёма цилиндра.
Теперь, зная $R$ и $H$, можем найти объём цилиндра: $V = \pi R^2 H$ Подставим найденные выражения для $R$ и $H$: $V = \pi \left(\frac{b}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 \cdot (b \cdot \tan(\beta))$ $V = \pi \cdot \frac{b^2}{4 \sin^2(\alpha)} \cdot b \cdot \tan(\beta)$ $V = \frac{\pi b^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi b^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

293. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а боковое ребро — 7 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

293. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а боковое ребро — 7 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Цилиндр, вписанный в призму, имеет высоту, равную высоте призмы, а его основание (круг) вписано в основание призмы (квадрат).

Высота вписанного цилиндра $h$ равна боковому ребру призмы:
$h = 7$ см.

Основанием призмы является квадрат со стороной $a = 6$ см. Основание цилиндра — это круг, вписанный в этот квадрат. Диаметр такого круга равен стороне квадрата, следовательно, радиус $r$ основания цилиндра равен половине стороны квадрата:
$r = a / 2 = 6 / 2 = 3$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi r^2 h$

Подставим найденные значения высоты и радиуса в формулу:
$V = \pi \cdot (3)^2 \cdot 7 = \pi \cdot 9 \cdot 7 = 63\pi$ см³.

Ответ: $63\pi$ см³.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Угол между меньшей диагональю призмы и её боковым ребром равен $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Угол между меньшей диагональю призмы и её боковым ребром равен $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Для нахождения объема цилиндра, вписанного в призму, необходимо найти его высоту $H_{цил}$ и радиус основания $r$. Объем вычисляется по формуле $V = \pi r^2 H_{цил}$.

1. Найдем высоту призмы $H$

Высота вписанного цилиндра равна высоте прямой призмы, то есть $H_{цил} = H$. Основанием призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Меньшая диагональ ромба $d_1$ лежит напротив острого угла, который равен $180^\circ - \alpha$. Найдем длину $d_1$ по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.

Используя формулу половинного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$d_1 = \sqrt{4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Призма прямая, поэтому ее боковое ребро перпендикулярно основанию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром призмы (высотой $H$), меньшей диагональю основания $d_1$ и меньшей диагональю призмы. Угол $\beta$ — это угол между боковым ребром и меньшей диагональю призмы. Из определения тангенса в этом треугольнике следует:

$\tan\beta = \frac{d_1}{H} \implies H = \frac{d_1}{\tan\beta} = \frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\tan\beta} = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

2. Найдем радиус основания цилиндра $r$

Основанием цилиндра является круг, вписанный в ромб. Радиус такого круга $r$ равен половине высоты ромба $h_{ромб}$. Площадь ромба можно вычислить по формулам $S = a^2\sin\alpha$ и $S = a \cdot h_{ромб}$. Приравняв их, найдем высоту ромба:

$h_{ромб} = a\sin\alpha$.

Тогда радиус основания цилиндра:

$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a\sin\alpha}{2}$.

3. Вычислим объем цилиндра $V$

Подставим найденные значения $H$ и $r$ в формулу объема цилиндра $V = \pi r^2 H$:

$V = \pi \left(\frac{a\sin\alpha}{2}\right)^2 \cdot \left(2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta\right)$

$V = \pi \frac{a^2\sin^2\alpha}{4} \cdot 2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta = \frac{\pi a^3 \sin^2\alpha \cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta}{2}$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$. Тогда $\sin^2\alpha = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим это в выражение для объема:

$V = \frac{\pi a^3 \left(4\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})\right) \cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta}{2} = 2\pi a^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

Ответ: $2\pi a^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

295. Радиус основания конуса равен 9 см, а его высота — 5 см. Найдите объём конуса.

295. Радіус основи конуса равен 9 см, а його висота — 5 см. Найдите объём конуса.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
где $R$ – это радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

По условию задачи нам даны следующие значения:
Радиус основания $R = 9$ см.
Высота конуса $H = 5$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (9)^2 \cdot 5$

Теперь выполним вычисления по шагам:
1. Возведём радиус в квадрат: $9^2 = 81$.
2. Подставим результат обратно в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 5$.
3. Умножим числа: $V = \frac{1}{3} \cdot 405 \cdot \pi$ или $V = 27 \cdot 5 \cdot \pi$.
4. Окончательный результат: $V = 135\pi$.

Таким образом, объём конуса равен $135\pi$ кубических сантиметров.

Ответ: $135\pi$ см³.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $60^\circ$. Найдите объём конуса.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $60^\circ$. Найдите объём конуса.

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Образующая конуса $l$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между гипотенузой ($l$) и катетом ($R$).

По условию задачи, длина образующей $l = a$, а угол её наклона к плоскости основания равен $60^\circ$.

Найдём высоту $H$ и радиус $R$ через образующую $a$ и заданный угол, используя тригонометрические функции:

Высота $H$ — это катет, противолежащий углу в $60^\circ$:

$H = l \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Радиус $R$ — это катет, прилежащий к углу в $60^\circ$:

$R = l \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

Теперь, зная $R$ и $H$, можем вычислить объём конуса, подставив эти значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}$.