Страница 110 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 8$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 8$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC = BC$) и прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза, $AB = 8$ см.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры и не пересекающей её, можно найти по второй теореме Паппа-Гюльдена. Формула для вычисления объема $V$:

$V = 2\pi R S$

где $S$ — площадь вращающейся фигуры (в нашем случае — треугольника $ABC$), а $R$ — расстояние от центроида (центра масс) этой фигуры до оси вращения (прямой $m$).

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см$^2$.

2. Найдем расстояние от центроида треугольника $ABC$ до оси вращения $m$.

Для удобства введем декартову систему координат. Ось вращения $m$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Примем точку $B$ за начало координат $(0,0)$, прямую $m$ — за ось $Oy$, а прямую, содержащую отрезок $AB$, — за ось $Ox$.

В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• Точка $B$ — начало координат: $B(0, 0)$.
• Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 8 от начала координат: $A(8, 0)$.
• Высота $CH$ перпендикулярна $AB$ (оси $Ox$), а ее основание $H$ является серединой гипотенузы $AB$. Координаты точки $H$: $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2}) = (4, 0)$. Длина высоты $CH = 4$ см, следовательно, координаты точки $C$: $C(4, 4)$.

Центроид $G$ (точка пересечения медиан) треугольника имеет координаты, равные среднему арифметическому координат его вершин:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{8 + 0 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 0 + 4}{3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, центроид $G$ имеет координаты $(4, 4/3)$.

Расстояние $R$ от центроида $G(4, 4/3)$ до оси вращения $m$ (оси $Oy$) равно модулю его абсциссы:

$R = |x_G| = 4$ см.

3. Вычислим объем тела вращения.

Подставим найденные значения $S$ и $R$ в формулу объема:

$V = 2\pi R S = 2\pi \cdot 4 \cdot 16 = 128\pi$ см$^3$.

Ответ: $128\pi$ см$^3$.

317. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 30). Найдите объём тела вращения.

Рис. 30

317. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 30). Найдите объём тела вращения.

Рис. 30

Для решения этой задачи воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена. Согласно этой теореме, объём тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг внешней оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, которую описывает её центр масс (центроид).

Формула для объёма тела вращения: $V = S \cdot 2\pi r_c$, где $S$ — площадь вращающейся фигуры (в нашем случае — треугольника), а $r_c$ — расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

Решение можно разбить на три шага:
1. Нахождение площади равнобедренного треугольника $S$.
2. Нахождение расстояния от центроида треугольника до оси вращения $r_c$.
3. Вычисление объёма $V$.

1. Нахождение площади треугольника

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC = BC = b$. Углы при основании равны $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$. Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В нём:

• Высота $h = CH = AC \cdot \sin(\alpha) = b \sin(\alpha)$.
• Половина основания $AH = AC \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Основание треугольника $ABC$ равно $AB = 2 \cdot AH = 2b \cos(\alpha)$.

Теперь найдём площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\alpha)) \cdot (b \sin(\alpha)) = b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, можно записать площадь в виде: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение расстояния от центроида до оси вращения

Центроид треугольника (точка пересечения медиан) лежит на высоте $CH$ и делит её в отношении 2:1, считая от вершины $C$. Следовательно, расстояние от основания $AB$ до центроида составляет $\frac{1}{3}$ высоты $h$.

Расстояние от основания $AB$ до центроида: $h_c = \frac{1}{3} CH = \frac{1}{3} b \sin(\alpha)$.

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AB$ и находится на расстоянии $d$ от него. Согласно рисунку, ось $m$ и треугольник расположены по разные стороны от основания. Поэтому расстояние от центроида до оси вращения $r_c$ равно сумме расстояния от оси до основания ($d$) и расстояния от основания до центроида ($h_c$).

$r_c = d + h_c = d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)$.

3. Вычисление объёма тела вращения

Подставим найденные значения $S$ и $r_c$ в формулу объёма тела вращения:

$V = S \cdot 2\pi r_c = \left(b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.

Преобразуем выражение, используя формулу для площади через двойной угол:

$V = \left(\frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right) = \pi b^2 \sin(2\alpha) \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.

Ответ: $V = \pi b^2 \sin(2\alpha) \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.

318. Радиус шара равен 5 см. Найдите его объём.

318. Радиус шара равен 5 см. Найдите его объём.

Для нахождения объёма шара используется формула:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

где $V$ — это объём, а $R$ — это радиус шара.

По условию задачи, радиус шара $R = 5$ см. Подставим это значение в формулу и произведем вычисления:

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot (5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi$

Объём шара измеряется в кубических единицах, в данном случае — в кубических сантиметрах ($ \text{см}^3 $).

Ответ: $\frac{500}{3} \pi \text{ см}^3$.

319. Радиусы двух шаров относятся как 5 : 6. Найдите отношение их объёмов.

319. Радиусы двух шаров относятся как 5 : 6. Найдите отношение их объёмов.

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$. По условию задачи, их отношение составляет 5 к 6, что можно записать в виде дроби:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{5}{6}$

Объём шара ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Тогда объёмы первого и второго шаров равны соответственно:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Чтобы найти отношение их объёмов, нужно разделить объём первого шара на объём второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$

Теперь подставим в это выражение известное нам отношение радиусов:

$\frac{V_1}{V_2} = (\frac{5}{6})^3 = \frac{5^3}{6^3} = \frac{125}{216}$

Следовательно, отношение объёмов шаров равно 125 : 216.

Ответ: 125 : 216

320. Во сколько раз надо уменьшить радиус шара, чтобы его объём уменьшился в 6 раз?

320. Во сколько раз надо уменьшить радиус шара, чтобы его объём уменьшился в 6 раз?

Пусть $V_1$ и $R_1$ — начальные объем и радиус шара, а $V_2$ и $R_2$ — конечные объем и радиус.

Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Следовательно, $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$ и $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$.

По условию задачи, конечный объем в 6 раз меньше начального: $V_2 = \frac{V_1}{6}$.

Подставим выражения для объемов в это равенство: $\frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{6}$.

Сократим обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$: $R_2^3 = \frac{R_1^3}{6}$.

Нам нужно найти, во сколько раз надо уменьшить радиус, то есть найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$. Выразим это отношение из полученного уравнения: $6 = \frac{R_1^3}{R_2^3}$ $6 = (\frac{R_1}{R_2})^3$.

Чтобы найти искомое отношение, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{6}$.

Таким образом, радиус шара необходимо уменьшить в $\sqrt[3]{6}$ раз, чтобы его объем уменьшился в 6 раз.

Ответ: в $\sqrt[3]{6}$ раз.

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара втрое большего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара втрое большего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

Масса тела ($m$) прямо пропорциональна его объему ($V$) и плотности материала ($\rho$). Эта зависимость выражается формулой: $m = \rho \cdot V$.

Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же бетона, их плотность ($\rho$) одинакова. Следовательно, масса шара прямо пропорциональна его объему. Это означает, что во сколько раз увеличится объем шара, во столько же раз увеличится и его масса.

Объем шара ($V$) зависит от его радиуса ($r$) и вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Пусть $r_1$ — радиус первого шара, а $r_2$ — радиус второго шара. По условию задачи, радиус второго шара втрое больше, то есть $r_2 = 3r_1$.

Найдем, как изменится объем при увеличении радиуса в 3 раза. Для этого составим отношение объемов второго шара ($V_2$) к первому ($V_1$):

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_2^3}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{r_2^3}{r_1^3} = (\frac{r_2}{r_1})^3$

Подставим соотношение радиусов $r_2 = 3r_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = (\frac{3r_1}{r_1})^3 = 3^3 = 27$

Таким образом, объем второго шара в 27 раз больше объема первого. Так как масса прямо пропорциональна объему, масса второго шара ($m_2$) также будет в 27 раз больше массы первого шара ($m_1$).

Масса первого шара $m_1 = 0,8$ т. Вычислим массу второго шара:

$m_2 = 27 \cdot m_1 = 27 \cdot 0,8 = 21,6$ т.

Ответ: 21,6 т.

322. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус меньшего шара, если радиус большего шара равен 8 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $516\pi \text{ см}^3$.

322. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус меньшего шара, если радиус большего шара равен 8 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $516\pi \text{ см}^3$.

Пусть $R$ — радиус большего шара, а $r$ — радиус меньшего шара. По условию, шары имеют общий центр.

Известно, что радиус большего шара $R = 8$ см. Объём тела, заключённого между поверхностями двух шаров, равен $516\pi$ см$^3$.

Объём шара с радиусом $x$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi x^3$.

Объём тела, заключённого между поверхностями двух концентрических шаров, равен разности объёмов большего и меньшего шаров:

$V_{тела} = V_{большего} - V_{меньшего} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3$

Вынесем общий множитель за скобки:

$V_{тела} = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$

Подставим в эту формулу известные значения $R = 8$ и $V_{тела} = 516\pi$:

$516\pi = \frac{4}{3}\pi (8^3 - r^3)$

Для нахождения $r$ решим полученное уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$516 = \frac{4}{3} (8^3 - r^3)$

Далее, умножим обе части на $\frac{3}{4}$:

$516 \cdot \frac{3}{4} = 8^3 - r^3$

$129 \cdot 3 = 512 - r^3$

$387 = 512 - r^3$

Выразим $r^3$:

$r^3 = 512 - 387$

$r^3 = 125$

Найдём $r$, извлекая кубический корень:

$r = \sqrt[3]{125} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

323. На расстоянии $2\sqrt{5}\text{ см}$ от центра шара проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если объём шара равен $288\pi \text{ см}^3$.

323. На расстоянии $2\sqrt{5}$ см от центра шара проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если объём шара равен $288\pi$ см$^3$.

Для решения задачи нам понадобятся формулы объёма шара и площади круга. Объём шара $V$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь этого круга $S$ с радиусом $r$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

1. Найдём радиус шара (R).

Нам дан объём шара $V = 288\pi$ см³. Используем формулу объёма, чтобы найти радиус $R$:$288\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$Разделим обе части уравнения на $\pi$:$288 = \frac{4}{3} R^3$Теперь выразим $R^3$:$R^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 72 \cdot 3 = 216$Отсюда находим радиус $R$:$R = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

2. Найдём радиус сечения (r).

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до сечения $d$ и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора имеем:$R^2 = d^2 + r^2$Нам известно, что $R = 6$ см и $d = 2\sqrt{5}$ см. Подставим эти значения в уравнение:$6^2 = (2\sqrt{5})^2 + r^2$$36 = 4 \cdot 5 + r^2$$36 = 20 + r^2$$r^2 = 36 - 20$$r^2 = 16$

3. Найдём площадь сечения.

Площадь сечения (круга) находится по формуле $S = \pi r^2$. Мы уже нашли, что $r^2 = 16$.$S = \pi \cdot 16 = 16\pi$ см².

Ответ: $16\pi$ см².

324. Объем правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$.
Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

По условию, нам дана правильная четырехугольная призма, объём которой равен $V$. Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$, а высоту призмы как $h$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Поскольку в основании лежит квадрат со стороной $a$, его площадь $S_{осн} = a^2$. Таким образом, объём призмы равен:$V = a^2h$

В призму вписан шар. Это означает, что шар касается всех граней призмы: двух оснований и четырех боковых граней.

Из условия, что шар касается верхнего и нижнего оснований, следует, что высота призмы $h$ равна диаметру шара $d$. Если радиус шара равен $R$, то $d = 2R$, и, следовательно, $h = 2R$.

Из условия, что шар касается четырех боковых граней, следует, что сторона основания $a$ также равна диаметру шара $d$. Следовательно, $a = 2R$.

Таким образом, мы получаем, что $a = h = 2R$. Это значит, что правильная четырехугольная призма, в которую можно вписать шар, является кубом со стороной $a$.

Подставим $h=a$ в формулу объёма призмы:$V = a^2 \cdot a = a^3$

Теперь найдем объём вписанного шара. Радиус шара $R$ связан со стороной куба $a$ соотношением $R = a/2$.Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу $R = a/2$:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Поскольку мы выяснили, что объём призмы (куба) $V = a^3$, мы можем заменить $a^3$ на $V$ в формуле для объёма шара:$V_{шара} = \frac{\pi V}{6}$

Ответ: $ \frac{\pi V}{6} $

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему угол — $60^{\circ}$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему угол — $60^{\circ}$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Для решения задачи последовательно найдем стороны основания призмы, ее высоту, радиус описанной сферы и, наконец, ее объем.

1. Нахождение сторон основания призмы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. По условию, один из катетов равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему острый угол — $60^\circ$. Пусть $a = \sqrt{7}$ см.

Второй катет $b$ найдем, используя тангенс известного угла:

$b = a \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{21}$ см.

Гипотенузу $c$ найдем, используя косинус:

$c = \frac{a}{\cos(60^\circ)} = \frac{\sqrt{7}}{1/2} = 2\sqrt{7}$ см.

Чтобы определить большую сторону основания, сравним квадраты длин сторон: $a^2 = 7$, $b^2 = 21$, $c^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$. Следовательно, большей стороной является гипотенуза $c = 2\sqrt{7}$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу $c$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$, котангенс которого по условию равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Поскольку призма прямая, ее высота $H$ перпендикулярна основанию. Эта диагональ, высота $H$ и гипотенуза $c$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $c$ является проекцией диагонали на плоскость основания, а $H$ — боковым ребром. Таким образом, котангенс угла $\alpha$ есть отношение прилежащего катета ($c$) к противолежащему ($H$):

$\cot(\alpha) = \frac{c}{H}$

Подставим известные значения и найдем высоту $H$:

$\frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{2\sqrt{7}}{H}$

$H = \frac{2\sqrt{7} \cdot 6}{\sqrt{14}} = \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{2 \cdot 7}} = \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{2}\sqrt{7}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение радиуса и объёма описанного шара

Радиус $R$ шара (сферы), описанного около прямой призмы, находится по формуле $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$, где $r$ — радиус окружности, описанной около основания призмы.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$ см.

Теперь вычислим радиус шара $R$:

$R^2 = (\sqrt{7})^2 + \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 7 + (3\sqrt{2})^2 = 7 + 9 \cdot 2 = 7 + 18 = 25$.

Следовательно, $R = \sqrt{25} = 5$ см.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$.