Номер 325, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему угол — $60^{\circ}$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему угол — $60^{\circ}$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Для решения задачи последовательно найдем стороны основания призмы, ее высоту, радиус описанной сферы и, наконец, ее объем.

1. Нахождение сторон основания призмы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. По условию, один из катетов равен $\sqrt{7}$ см, а прилежащий к нему острый угол — $60^\circ$. Пусть $a = \sqrt{7}$ см.

Второй катет $b$ найдем, используя тангенс известного угла:

$b = a \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{21}$ см.

Гипотенузу $c$ найдем, используя косинус:

$c = \frac{a}{\cos(60^\circ)} = \frac{\sqrt{7}}{1/2} = 2\sqrt{7}$ см.

Чтобы определить большую сторону основания, сравним квадраты длин сторон: $a^2 = 7$, $b^2 = 21$, $c^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$. Следовательно, большей стороной является гипотенуза $c = 2\sqrt{7}$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу $c$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$, котангенс которого по условию равен $\frac{\sqrt{14}}{6}$. Поскольку призма прямая, ее высота $H$ перпендикулярна основанию. Эта диагональ, высота $H$ и гипотенуза $c$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $c$ является проекцией диагонали на плоскость основания, а $H$ — боковым ребром. Таким образом, котангенс угла $\alpha$ есть отношение прилежащего катета ($c$) к противолежащему ($H$):

$\cot(\alpha) = \frac{c}{H}$

Подставим известные значения и найдем высоту $H$:

$\frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{2\sqrt{7}}{H}$

$H = \frac{2\sqrt{7} \cdot 6}{\sqrt{14}} = \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{2 \cdot 7}} = \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{2}\sqrt{7}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение радиуса и объёма описанного шара

Радиус $R$ шара (сферы), описанного около прямой призмы, находится по формуле $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$, где $r$ — радиус окружности, описанной около основания призмы.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$ см.

Теперь вычислим радиус шара $R$:

$R^2 = (\sqrt{7})^2 + \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 7 + (3\sqrt{2})^2 = 7 + 9 \cdot 2 = 7 + 18 = 25$.

Следовательно, $R = \sqrt{25} = 5$ см.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$.