Номер 332, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

332. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $24\sqrt{3}$ см, а апофема — 45 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

332. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $24\sqrt{3}$ см, а апофема – 45 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

Для нахождения площади сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, необходимо сначала найти радиус этой сферы. Площадь сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — её радиус.

Дано:
Сторона основания $a = 24\sqrt{3}$ см.
Апофема пирамиды (высота боковой грани) $l = 45$ см.

Решение задачи состоит из нескольких шагов:

1. Нахождение апофемы основания (радиуса вписанной в основание окружности).

   Основание пирамиды — правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$. Апофема основания $r_{осн}$ является высотой одного из этих треугольников.
   Формула для высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
   Подставим значение $a$:
   $r_{осн} = \frac{24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{24 \cdot 3}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды.

   Высота пирамиды $H$, апофема основания $r_{осн}$ и апофема пирамиды $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
   $l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
   $H = \sqrt{l^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{45^2 - 36^2}$
   Используем формулу разности квадратов:
   $H = \sqrt{(45-36)(45+36)} = \sqrt{9 \cdot 81} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{81} = 3 \cdot 9 = 27$ см.

3. Нахождение радиуса вписанной сферы.

   Радиус $R$ вписанной в пирамиду сферы можно найти, рассмотрев сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту и апофему. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r_{осн}$ и боковыми сторонами $l$. Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении будет выглядеть как вписанная в треугольник окружность, её радиус и будет радиусом сферы $R$.
   Радиус можно найти из подобия треугольников. В треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой $l$ и апофемой основания $r_{осн}$, центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $H$. Расстояние от центра $O$ до основания и до боковой грани равно радиусу $R$.
   Из подобия треугольников получаем соотношение:
   $\frac{H-R}{l} = \frac{R}{r_{осн}}$
   Подставим известные значения:
   $\frac{27-R}{45} = \frac{R}{36}$
   Умножим обе части на $9$:
   $\frac{27-R}{5} = \frac{R}{4}$
   $4(27-R) = 5R$
   $108 - 4R = 5R$
   $9R = 108$
   $R = \frac{108}{9} = 12$ см.

4. Нахождение площади сферы.

   Теперь, зная радиус, найдём площадь сферы по формуле $S = 4\pi R^2$.
   $S = 4\pi \cdot 12^2 = 4\pi \cdot 144 = 576\pi$ см².

Ответ: $576\pi$ см².