Номер 326, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

326. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см, а высота пирамиды — 3 см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

326. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см, а высота пирамиды — 3 см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник ABC, а высота SO=H, где O - центр основания.

По условию задачи, сторона основания $a = 9$ см, а высота пирамиды $H = 3$ см.

Для нахождения объёма описанного шара необходимо найти его радиус R. Центр описанного шара (обозначим его K) для правильной пирамиды всегда лежит на её высоте. Расстояние от центра шара до всех вершин пирамиды одинаково и равно радиусу R. То есть $KA = KB = KC = KS = R$.

1. Найдём радиус окружности, описанной около основания.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник. Центр основания O является центром описанной окружности. Радиус этой окружности ($R_{осн}$) равен расстоянию от центра O до любой вершины, например, OA. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 9$ см:

$OA = R_{осн} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус описанного шара.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, вершину основания A и центр основания O. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник SOA. Центр шара K лежит на высоте SO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOK (угол $\angle AOK = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$KA^2 = OA^2 + OK^2$

Поскольку $KA = R$ (радиус шара), мы имеем:

$R^2 = (3\sqrt{3})^2 + OK^2 = 27 + OK^2$

Расстояние от центра шара K до вершины пирамиды S также равно радиусу R ($KS = R$). Это расстояние можно выразить через высоту пирамиды $H=SO=3$ и расстояние OK:

$KS = |SO - OK| = |3 - OK|$

Следовательно, $R^2 = (3 - OK)^2$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $R^2$:

$27 + OK^2 = (3 - OK)^2$

$27 + OK^2 = 9 - 6 \cdot OK + OK^2$

$27 = 9 - 6 \cdot OK$

$6 \cdot OK = 9 - 27$

$6 \cdot OK = -18$

$OK = -3$ см.

Отрицательное значение означает, что центр шара K находится на продолжении высоты SO за плоскостью основания, то есть точка O лежит между K и S.

Теперь найдем радиус R, подставив значение OK в одно из уравнений:

$R^2 = 27 + OK^2 = 27 + (-3)^2 = 27 + 9 = 36$

$R = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Найдём объём шара.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное значение радиуса $R = 6$ см:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4\pi \cdot 72 = 288\pi$ см³.

Ответ: $288\pi$ см³.