Номер 324, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

324. Объем правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$.
Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

По условию, нам дана правильная четырехугольная призма, объём которой равен $V$. Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$, а высоту призмы как $h$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Поскольку в основании лежит квадрат со стороной $a$, его площадь $S_{осн} = a^2$. Таким образом, объём призмы равен:$V = a^2h$

В призму вписан шар. Это означает, что шар касается всех граней призмы: двух оснований и четырех боковых граней.

Из условия, что шар касается верхнего и нижнего оснований, следует, что высота призмы $h$ равна диаметру шара $d$. Если радиус шара равен $R$, то $d = 2R$, и, следовательно, $h = 2R$.

Из условия, что шар касается четырех боковых граней, следует, что сторона основания $a$ также равна диаметру шара $d$. Следовательно, $a = 2R$.

Таким образом, мы получаем, что $a = h = 2R$. Это значит, что правильная четырехугольная призма, в которую можно вписать шар, является кубом со стороной $a$.

Подставим $h=a$ в формулу объёма призмы:$V = a^2 \cdot a = a^3$

Теперь найдем объём вписанного шара. Радиус шара $R$ связан со стороной куба $a$ соотношением $R = a/2$.Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу $R = a/2$:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Поскольку мы выяснили, что объём призмы (куба) $V = a^3$, мы можем заменить $a^3$ на $V$ в формуле для объёма шара:$V_{шара} = \frac{\pi V}{6}$

Ответ: $ \frac{\pi V}{6} $