Номер 317, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 30). Найдите объём тела вращения.

Рис. 30

317. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 30). Найдите объём тела вращения.

Рис. 30

Для решения этой задачи воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена. Согласно этой теореме, объём тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг внешней оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, которую описывает её центр масс (центроид).

Формула для объёма тела вращения: $V = S \cdot 2\pi r_c$, где $S$ — площадь вращающейся фигуры (в нашем случае — треугольника), а $r_c$ — расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

Решение можно разбить на три шага:
1. Нахождение площади равнобедренного треугольника $S$.
2. Нахождение расстояния от центроида треугольника до оси вращения $r_c$.
3. Вычисление объёма $V$.

1. Нахождение площади треугольника

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC = BC = b$. Углы при основании равны $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$. Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В нём:

• Высота $h = CH = AC \cdot \sin(\alpha) = b \sin(\alpha)$.
• Половина основания $AH = AC \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Основание треугольника $ABC$ равно $AB = 2 \cdot AH = 2b \cos(\alpha)$.

Теперь найдём площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\alpha)) \cdot (b \sin(\alpha)) = b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, можно записать площадь в виде: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение расстояния от центроида до оси вращения

Центроид треугольника (точка пересечения медиан) лежит на высоте $CH$ и делит её в отношении 2:1, считая от вершины $C$. Следовательно, расстояние от основания $AB$ до центроида составляет $\frac{1}{3}$ высоты $h$.

Расстояние от основания $AB$ до центроида: $h_c = \frac{1}{3} CH = \frac{1}{3} b \sin(\alpha)$.

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AB$ и находится на расстоянии $d$ от него. Согласно рисунку, ось $m$ и треугольник расположены по разные стороны от основания. Поэтому расстояние от центроида до оси вращения $r_c$ равно сумме расстояния от оси до основания ($d$) и расстояния от основания до центроида ($h_c$).

$r_c = d + h_c = d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)$.

3. Вычисление объёма тела вращения

Подставим найденные значения $S$ и $r_c$ в формулу объёма тела вращения:

$V = S \cdot 2\pi r_c = \left(b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.

Преобразуем выражение, используя формулу для площади через двойной угол:

$V = \left(\frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot 2\pi \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right) = \pi b^2 \sin(2\alpha) \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.

Ответ: $V = \pi b^2 \sin(2\alpha) \left(d + \frac{1}{3} b \sin(\alpha)\right)$.