Номер 311, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

311. Отрезки $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ – образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

311. Отрезки $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ — образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса. Нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины $a$ и $\alpha$.

1. Найдем длину образующей конуса L.

Рассмотрим треугольник $ASB$. Так как $SA$ и $SB$ – образующие одного конуса, то $SA = SB = L$. Треугольник $ASB$ является равнобедренным. По условию, $AB = a$ и угол при вершине $\angle ASB = \alpha$.

Применим к треугольнику $ASB$ теорему косинусов:

$a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = 2L^2(1 - \cos(\alpha))$

Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:

$a^2 = 2L^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4L^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлекая корень, находим $a = 2L\sin(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда выражаем длину образующей $L$:

$L = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем радиус основания R.

Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности основания конуса. Отрезки $SA, SB, SC, SD$ равны как образующие. Углы $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$ по условию. Следовательно, треугольники $ASB, BSC, CSD, DSA$ равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что их основания также равны: $AB = BC = CD = DA = a$.

Таким образом, в основании конуса лежит ромб $ABCD$. Поскольку этот ромб вписан в окружность, он является квадратом. Радиус $R$ основания конуса – это радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$. Он равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Тогда радиус основания $R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем высоту конуса H.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$.

Отсюда $H = \sqrt{L^2 - R^2}$. Подставим найденные выражения для $L$ и $R$:

$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2a^2}{4}$

$H^2 = \frac{a^2 - 2a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение:

$H^2 = \frac{a^2\cos(\alpha)}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

$H = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

4. Вычислим объем конуса V.

Подставим значения для $R^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2}{2}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.