Номер 304, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус его основания как $R$, а образующую как $L$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. В этом сечении высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, а $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle SOA$ — прямоугольный треугольник, где $\angle SOA = 90^\circ$.

Согласно условию задачи, угол между образующей $SA$ и высотой $SO$ равен $\alpha$, то есть $\angle OSA = \alpha$. Расстояние от центра основания $O$ до образующей $SA$ равно $d$. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на гипотенузу $SA$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$. Таким образом, $OK = d$ и $OK \perp SA$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SKO = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является высота конуса $SO = H$, а катет $OK = d$ лежит напротив угла $\angle OSK = \alpha$. Используя определение синуса угла, получаем:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OK}{SO} = \frac{d}{H}$

Из этого соотношения выражаем высоту конуса $H$:

$H = \frac{d}{\sin(\alpha)}$

Далее найдем радиус основания $R$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOA$. Тангенс угла $\alpha$ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета $OA = R$ к прилежащему катету $SO = H$:

$\tan(\alpha) = \frac{OA}{SO} = \frac{R}{H}$

Выразим радиус $R = H \tan(\alpha)$ и подставим в это выражение найденное ранее значение для $H$:

$R = \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) \cdot \tan(\alpha) = \frac{d}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d}{\cos(\alpha)}$

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим в нее полученные выражения для $R$ и $H$ через $d$ и $\alpha$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{d}{\cos(\alpha)}\right)^2 \cdot \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{d^2}{\cos^2(\alpha)} \cdot \frac{d}{\sin(\alpha)}$

После упрощения получаем окончательное выражение для объёма конуса:

$V = \frac{\pi d^3}{3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{\pi d^3}{3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)}$