Номер 300, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

300. Осевое сечение конуса — треугольник, площадь которого равна $9\sqrt{3}$ $см^2$, а один из углов — $120^\circ$. Найдите объём конуса.

300. Осевое сечение конуса — треугольник, площадь которого равна $9\sqrt{3}\text{ см}^2$, а один из углов — $120^\circ$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса (обозначим их как $l$), а основание — диаметром основания конуса (обозначим его как $d=2R$, где $R$ — радиус основания конуса).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол в $120^\circ$ был при основании, то сумма двух углов при основании была бы $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$. Это невозможно. Следовательно, угол в $120^\circ$ — это угол при вершине треугольника (угол между образующими конуса). Углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае стороны — это образующие $l$, а угол между ними — $120^\circ$.

$S = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(120^\circ)$

Подставим известные значения:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} l^2 \sin(120^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} l^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9\sqrt{3} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$9 = \frac{l^2}{4}$

$l^2 = 36$

$l = 6$ см.

Теперь найдем высоту конуса $H$ и радиус основания $R$. Высота конуса является высотой осевого сечения, проведенной из вершины. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой и биссектрисой. Она делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. Гипотенуза каждого такого треугольника — это образующая $l=6$, один катет — это высота конуса $H$, а второй катет — радиус основания $R$. Углы в этом прямоугольном треугольнике равны $90^\circ$, $30^\circ$ (угол при основании) и $120^\circ / 2 = 60^\circ$ (половина угла при вершине).

Найдем $H$ и $R$ из прямоугольного треугольника:

$H = l \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

$R = l \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

$V = \frac{1}{3}\pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^3$.

Ответ: $27\pi$ см$^3$.