Номер 305, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Вращение происходит вокруг наибольшей стороны, то есть вокруг стороны $c = 36$ см.

Тело вращения, которое образуется при вращении треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиусом этого основания $r$ является высота треугольника $h$, опущенная на сторону, вокруг которой происходит вращение. Сумма высот этих двух конусов $h_1 + h_2$ равна длине стороны вращения $c$.

Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов: $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Так как $h_1 + h_2 = c$, то формула для объёма принимает вид: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 c$.

Чтобы найти радиус $r$, который равен высоте $h$, проведённой к стороне $c$, воспользуемся формулой площади треугольника. Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+29+36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника: $S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 4 \cdot 16 \cdot 5^2} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 16 \cdot 25} = 9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 = 360$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2}c \cdot h$. Отсюда найдём высоту $h$ (наш радиус $r$): $h = r = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 360}{36} = \frac{720}{36} = 20$ см.

Теперь мы можем найти объём тела вращения, подставив известные значения в формулу $V = \frac{1}{3}\pi r^2 c$: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot (20)^2 \cdot 36 = \frac{1}{3}\pi \cdot 400 \cdot 36 = \pi \cdot 400 \cdot 12 = 4800\pi$ см³.

Ответ: $4800\pi$ см³.