Номер 308, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $BC = a$, а противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а ее проекцию на основание как $O$. Таким образом, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а высота пирамиды $H = SO$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным, центр описанной около него окружности находится на середине его гипотенузы $AB$. Радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы $AB$ из прямоугольного треугольника $ABC$:
$\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB}$, откуда гипотенуза $AB = \frac{a}{\sin(\alpha)}$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности:
$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет ту же вершину $S$ и то же основание, что и описанная окружность треугольника $ABC$. Следовательно, радиус основания конуса равен $R$, а его высота равна высоте пирамиды $H$.

Высоту $H$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$. В этом треугольнике катет $OA$ является радиусом описанной окружности ($OA = R$), а угол $\angle SAO = \phi$ — это угол между боковым ребром $SA$ и его проекцией $OA$ на плоскость основания.
$\tan(\phi) = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan(\phi)$.
Подставим найденное значение $R$:
$H = \frac{a}{2\sin(\alpha)} \cdot \tan(\phi)$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим в нее выражения для $R$ и $H$:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right)^2 \left(\frac{a \tan(\phi)}{2\sin(\alpha)}\right)$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha)} \cdot \frac{a \tan(\phi)}{2\sin(\alpha)}$
$V = \frac{\pi a^3 \tan(\phi)}{24\sin^3(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\phi)}{24\sin^3(\alpha)}$.