Номер 309, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $72 \text{ см}^2$, а острый угол — $30^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $72 \text{ см}^2$, а острый угол — $30^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма вписанного конуса воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Высота вписанного конуса совпадает с высотой пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (равнобокую трапецию).

1. Нахождение радиуса основания конуса R

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в данную равнобокую трапецию можно вписать окружность. Радиус этой окружности, $R$, будет радиусом основания конуса.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине её высоты:

$R = \frac{h_{тр}}{2}$

Площадь трапеции $S_{тр}$, в которую можно вписать окружность, можно выразить через её высоту $h_{тр}$ и острый угол $\alpha$. Для равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона $c$ связана с высотой $h_{тр}$ соотношением $c = \frac{h_{тр}}{\sin \alpha}$. Сумма оснований $a+b$ равна сумме боковых сторон $2c$.

Формула площади трапеции:

$S_{тр} = \frac{a+b}{2} h_{тр} = \frac{2c}{2} h_{тр} = c \cdot h_{тр}$

Подставим выражение для $c$:

$S_{тр} = \frac{h_{тр}}{\sin \alpha} \cdot h_{тр} = \frac{h_{тр}^2}{\sin \alpha}$

Отсюда выразим высоту трапеции $h_{тр}$:

$h_{тр}^2 = S_{тр} \cdot \sin \alpha$

Подставим известные значения: $S_{тр} = 72 \text{ см}^2$ и $\alpha = 30^\circ$:

$h_{тр}^2 = 72 \cdot \sin 30^\circ = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36$

$h_{тр} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Теперь найдём радиус вписанной окружности (основания конуса):

$R = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$

2. Нахождение высоты конуса H

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой пирамиды (высотой боковой грани). Угол между радиусом и апофемой является линейным углом двугранного угла при ребре основания и по условию равен $60^\circ$.

В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а $R$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$\tan 60^\circ = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan 60^\circ$

Подставим известные значения $R=3$ см и $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:

$H = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$

3. Вычисление объёма конуса

Теперь, зная радиус $R = 3$ см и высоту $H = 3\sqrt{3}$ см, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot (3\sqrt{3})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ: $9\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$