Номер 316, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 8$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 8$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC = BC$) и прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза, $AB = 8$ см.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры и не пересекающей её, можно найти по второй теореме Паппа-Гюльдена. Формула для вычисления объема $V$:

$V = 2\pi R S$

где $S$ — площадь вращающейся фигуры (в нашем случае — треугольника $ABC$), а $R$ — расстояние от центроида (центра масс) этой фигуры до оси вращения (прямой $m$).

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см$^2$.

2. Найдем расстояние от центроида треугольника $ABC$ до оси вращения $m$.

Для удобства введем декартову систему координат. Ось вращения $m$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AB$. Примем точку $B$ за начало координат $(0,0)$, прямую $m$ — за ось $Oy$, а прямую, содержащую отрезок $AB$, — за ось $Ox$.

В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• Точка $B$ — начало координат: $B(0, 0)$.
• Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 8 от начала координат: $A(8, 0)$.
• Высота $CH$ перпендикулярна $AB$ (оси $Ox$), а ее основание $H$ является серединой гипотенузы $AB$. Координаты точки $H$: $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2}) = (4, 0)$. Длина высоты $CH = 4$ см, следовательно, координаты точки $C$: $C(4, 4)$.

Центроид $G$ (точка пересечения медиан) треугольника имеет координаты, равные среднему арифметическому координат его вершин:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{8 + 0 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 0 + 4}{3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, центроид $G$ имеет координаты $(4, 4/3)$.

Расстояние $R$ от центроида $G(4, 4/3)$ до оси вращения $m$ (оси $Oy$) равно модулю его абсциссы:

$R = |x_G| = 4$ см.

3. Вычислим объем тела вращения.

Подставим найденные значения $S$ и $R$ в формулу объема:

$V = 2\pi R S = 2\pi \cdot 4 \cdot 16 = 128\pi$ см$^3$.

Ответ: $128\pi$ см$^3$.