Номер 315, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной $10\frac{5}{7}$ см и

$14\frac{2}{7}$ см, а радиус его большего основания равен 4 см.

Найдите объём усечённого конуса.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной $10\frac{5}{7}$ см и $14\frac{2}{7}$ см, а радиус его большего основания равен 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AC$ и $BD$ — диагонали.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. Тогда длина большего основания трапеции $AD = 2R$, а меньшего — $BC = 2r$. По условию, радиус большего основания $R = 4$ см, следовательно, $AD = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Диагонали трапеции точкой пересечения $O$ делятся на отрезки. По условию, их длины равны $10\frac{5}{7}$ см и $14\frac{2}{7}$ см. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$d_1 = 10\frac{5}{7} = \frac{10 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{75}{7}$ см

$d_2 = 14\frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{100}{7}$ см

Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны по двум углам ($\angle AOD = \angle COB$ как вертикальные, $\angle OAD = \angle OCB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).

В равнобокой трапеции диагонали равны, и отрезки, на которые они делятся точкой пересечения, попарно равны. Большему основанию $AD$ соответствуют большие отрезки диагоналей, поэтому $AO = DO = \frac{100}{7}$ см. Меньшему основанию $BC$ соответствуют меньшие отрезки, поэтому $BO = CO = \frac{75}{7}$ см.

Коэффициент подобия треугольников равен отношению их соответствующих сторон:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{AO}$

Используя длины отрезков диагоналей, найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{75/7}{100/7} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Отношение радиусов оснований конуса также равно коэффициенту подобия:

$\frac{r}{R} = \frac{BC/2}{AD/2} = \frac{BC}{AD} = k = \frac{3}{4}$

Зная $R=4$ см, найдем $r$:

$\frac{r}{4} = \frac{3}{4} \implies r = 3$ см.

Теперь найдем высоту усечённого конуса $H$, которая равна высоте трапеции. Высота трапеции $H$ складывается из высот треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, проведённых из точки $O$ к основаниям $AD$ и $BC$. Обозначим эти высоты $h_2$ и $h_1$ соответственно ($H = h_1 + h_2$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOD$. Его высота $h_2$, проведенная к основанию $AD$, является также и медианой, поэтому она делит основание $AD$ пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_2$, половиной основания ($AD/2 = R = 4$ см) и боковой стороной ($DO = \frac{100}{7}$ см), по теореме Пифагора:

$h_2^2 + R^2 = DO^2$

$h_2^2 + 4^2 = \left(\frac{100}{7}\right)^2$

$h_2^2 = \frac{10000}{49} - 16 = \frac{10000 - 16 \cdot 49}{49} = \frac{10000 - 784}{49} = \frac{9216}{49}$

$h_2 = \sqrt{\frac{9216}{49}} = \frac{96}{7}$ см.

Отношение высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\frac{h_1}{h_2} = k = \frac{3}{4}$

$h_1 = \frac{3}{4} h_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{96}{7} = \frac{3 \cdot 24}{7} = \frac{72}{7}$ см.

Полная высота конуса $H$ равна:

$H = h_1 + h_2 = \frac{72}{7} + \frac{96}{7} = \frac{168}{7} = 24$ см.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $H=24$ см, $R=4$ см, $r=3$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 24 \cdot (4^2 + 4 \cdot 3 + 3^2) = 8\pi(16 + 12 + 9) = 8\pi(37) = 296\pi$ см³.

Ответ: $296\pi$ см³.