Страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Основания прямоугольной трапеции равны 16 см и 10 см, а синус острого угла трапеции равен $ \frac{3}{\sqrt{13}} $. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Основания прямоугольной трапеции равны 16 см и 10 см, а синус острого угла трапеции равен $\frac{3}{\sqrt{13}}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. По условию, большее основание $AD = 16$ см, меньшее основание $BC = 10$ см. Острый угол трапеции – это $\angle D$, и его синус равен $\sin(\angle D) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.

При вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее большее основание $AD$, образуется тело, состоящее из цилиндра и конуса. Цилиндр образуется вращением прямоугольника $ABCH$, а конус — вращением прямоугольного треугольника $CHD$, где $CH$ — высота трапеции.

Объем этого тела вращения $V$ равен сумме объемов цилиндра ($V_{цил}$) и конуса ($V_{кон}$): $V = V_{цил} + V_{кон} = \pi R^2 h_{цил} + \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон}$.

Найдем необходимые для расчета величины. Радиус вращения $R$ для обеих фигур равен высоте трапеции $h = CH$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания: $h_{цил} = AH = BC = 10$ см. Высота конуса $h_{кон}$ равна разности длин оснований: $h_{кон} = HD = AD - AH = 16 - 10 = 6$ см.

Для нахождения высоты трапеции $CH$ (радиуса $R$) воспользуемся данными о синусе острого угла $D$ в прямоугольном треугольнике $CHD$. Найдем косинус угла $D$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$: $\cos^2(\angle D) = 1 - \sin^2(\angle D) = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$. Так как угол $D$ острый, $\cos(\angle D) = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

Тангенс угла $D$ равен: $\tan(\angle D) = \frac{\sin(\angle D)}{\cos(\angle D)} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$.

С другой стороны, в треугольнике $CHD$: $\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD} \Rightarrow CH = HD \cdot \tan(\angle D)$. Подставим известные значения: $CH = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ см.

Таким образом, радиус вращения $R = 9$ см.

Теперь вычислим объемы. Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил} = \pi \cdot 9^2 \cdot 10 = 810\pi$ см$^3$. Объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 6 = 162\pi$ см$^3$.

Суммарный объем тела вращения: $V = V_{цил} + V_{кон} = 810\pi + 162\pi = 972\pi$ см$^3$.

Ответ: $972\pi$ см$^3$.

307. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а высота – $2\sqrt{7}$ см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

307. Сторона основания правильной четырёхугольной пи-рамиды равна 4 см, а высота — $2\sqrt{7}$ см. Найдите объ-ём конуса, описанного около пирамиды.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Поскольку конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, описанной около основания пирамиды. Это означает, что высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Из условия задачи, высота пирамиды, а следовательно и высота конуса, равна $H = 2\sqrt{7}$ см.

Основание пирамиды — это квадрат со стороной $a = 4$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$.

Найдем диагональ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$:

$d = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, радиус основания конуса равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус $R$ и высоту $H$, можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot (2\sqrt{7})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (4 \cdot 2) \cdot 2\sqrt{7} = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{16\pi\sqrt{7}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{16\pi\sqrt{7}}{3}$ см³.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $BC = a$, а противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а ее проекцию на основание как $O$. Таким образом, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а высота пирамиды $H = SO$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным, центр описанной около него окружности находится на середине его гипотенузы $AB$. Радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы $AB$ из прямоугольного треугольника $ABC$:
$\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB}$, откуда гипотенуза $AB = \frac{a}{\sin(\alpha)}$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности:
$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет ту же вершину $S$ и то же основание, что и описанная окружность треугольника $ABC$. Следовательно, радиус основания конуса равен $R$, а его высота равна высоте пирамиды $H$.

Высоту $H$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$. В этом треугольнике катет $OA$ является радиусом описанной окружности ($OA = R$), а угол $\angle SAO = \phi$ — это угол между боковым ребром $SA$ и его проекцией $OA$ на плоскость основания.
$\tan(\phi) = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan(\phi)$.
Подставим найденное значение $R$:
$H = \frac{a}{2\sin(\alpha)} \cdot \tan(\phi)$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим в нее выражения для $R$ и $H$:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right)^2 \left(\frac{a \tan(\phi)}{2\sin(\alpha)}\right)$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha)} \cdot \frac{a \tan(\phi)}{2\sin(\alpha)}$
$V = \frac{\pi a^3 \tan(\phi)}{24\sin^3(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\phi)}{24\sin^3(\alpha)}$.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $72 \text{ см}^2$, а острый угол — $30^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $72 \text{ см}^2$, а острый угол — $30^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма вписанного конуса воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Высота вписанного конуса совпадает с высотой пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (равнобокую трапецию).

1. Нахождение радиуса основания конуса R

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в данную равнобокую трапецию можно вписать окружность. Радиус этой окружности, $R$, будет радиусом основания конуса.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине её высоты:

$R = \frac{h_{тр}}{2}$

Площадь трапеции $S_{тр}$, в которую можно вписать окружность, можно выразить через её высоту $h_{тр}$ и острый угол $\alpha$. Для равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона $c$ связана с высотой $h_{тр}$ соотношением $c = \frac{h_{тр}}{\sin \alpha}$. Сумма оснований $a+b$ равна сумме боковых сторон $2c$.

Формула площади трапеции:

$S_{тр} = \frac{a+b}{2} h_{тр} = \frac{2c}{2} h_{тр} = c \cdot h_{тр}$

Подставим выражение для $c$:

$S_{тр} = \frac{h_{тр}}{\sin \alpha} \cdot h_{тр} = \frac{h_{тр}^2}{\sin \alpha}$

Отсюда выразим высоту трапеции $h_{тр}$:

$h_{тр}^2 = S_{тр} \cdot \sin \alpha$

Подставим известные значения: $S_{тр} = 72 \text{ см}^2$ и $\alpha = 30^\circ$:

$h_{тр}^2 = 72 \cdot \sin 30^\circ = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36$

$h_{тр} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Теперь найдём радиус вписанной окружности (основания конуса):

$R = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$

2. Нахождение высоты конуса H

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой пирамиды (высотой боковой грани). Угол между радиусом и апофемой является линейным углом двугранного угла при ребре основания и по условию равен $60^\circ$.

В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а $R$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$\tan 60^\circ = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan 60^\circ$

Подставим известные значения $R=3$ см и $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:

$H = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$

3. Вычисление объёма конуса

Теперь, зная радиус $R = 3$ см и высоту $H = 3\sqrt{3}$ см, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot (3\sqrt{3})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ: $9\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объем вписанного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота. Так как конус вписан в пирамиду, его основание является кругом, вписанным в основание пирамиды, а высота конуса равна высоте пирамиды.

Найдем радиус $r$ основания конуса.

Основание пирамиды – это равнобедренный треугольник, обозначим его ABC, с боковыми сторонами $AB = BC = b$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Основание конуса — круг, вписанный в этот треугольник.

Проведем высоту $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$ является также медианой и биссектрисой. Из прямоугольного треугольника $ABM$ находим половину основания $AC$: $AM = AB \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Центр $O$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то есть на высоте $BM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$, где $OM$ — это искомый радиус $r$. Так как $AO$ — биссектриса угла $A$, то $\angle OAM = \frac{\alpha}{2}$. Из треугольника $AOM$ получаем соотношение:

$\tan(\angle OAM) = \frac{OM}{AM} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{b \cos(\alpha)}$

Отсюда выражаем радиус:

$r = b \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Найдем высоту $H$ конуса.

Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания ($\gamma$) означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку $O$. Таким образом, высота пирамиды (и конуса) есть $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, образованный высотой $SO=H$, радиусом вписанной окружности $OM=r$ и апофемой $SM$ (высотой боковой грани, проведенной к ребру основания $AC$). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$, следовательно, $\angle SMO = \gamma$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$) находим $H$:

$\tan(\gamma) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r}$

Следовательно, $H = r \tan(\gamma)$. Подставив найденное ранее выражение для $r$, получаем:

$H = b \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\gamma)$.

Вычислим объем конуса $V$.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Так как $H = r \tan(\gamma)$, формулу можно записать как $V = \frac{1}{3}\pi r^3 \tan(\gamma)$.

Подставляем выражение для $r$:

$V = \frac{1}{3}\pi \left( b \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)^3 \tan(\gamma)$

Окончательно получаем:

$V = \frac{1}{3}\pi b^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi b^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

311. Отрезки $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ – образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

311. Отрезки $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ — образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса. Нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины $a$ и $\alpha$.

1. Найдем длину образующей конуса L.

Рассмотрим треугольник $ASB$. Так как $SA$ и $SB$ – образующие одного конуса, то $SA = SB = L$. Треугольник $ASB$ является равнобедренным. По условию, $AB = a$ и угол при вершине $\angle ASB = \alpha$.

Применим к треугольнику $ASB$ теорему косинусов:

$a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = 2L^2(1 - \cos(\alpha))$

Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:

$a^2 = 2L^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4L^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлекая корень, находим $a = 2L\sin(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда выражаем длину образующей $L$:

$L = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем радиус основания R.

Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности основания конуса. Отрезки $SA, SB, SC, SD$ равны как образующие. Углы $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = \alpha$ по условию. Следовательно, треугольники $ASB, BSC, CSD, DSA$ равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что их основания также равны: $AB = BC = CD = DA = a$.

Таким образом, в основании конуса лежит ромб $ABCD$. Поскольку этот ромб вписан в окружность, он является квадратом. Радиус $R$ основания конуса – это радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$. Он равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Тогда радиус основания $R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем высоту конуса H.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$.

Отсюда $H = \sqrt{L^2 - R^2}$. Подставим найденные выражения для $L$ и $R$:

$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2a^2}{4}$

$H^2 = \frac{a^2 - 2a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение:

$H^2 = \frac{a^2\cos(\alpha)}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

$H = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

4. Вычислим объем конуса V.

Подставим значения для $R^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2}{2}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 14 см, а его высота — 5 см. Найдите объём усечённого конуса.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 14 см, а его высота — 5 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется следующая формула:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $V$ – объём усечённого конуса, $h$ – его высота, а $R$ и $r$ – радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
Радиус большего основания $R = 14$ см.
Радиус меньшего основания $r = 12$ см.
Высота усечённого конуса $h = 5$ см.
Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5 \cdot (14^2 + 14 \cdot 12 + 12^2)$
Сначала вычислим выражение в скобках:
$14^2 = 196$
$14 \cdot 12 = 168$
$12^2 = 144$
Теперь сложим эти значения:
$196 + 168 + 144 = 508$
Подставим полученную сумму обратно в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5 \cdot 508$
$V = \frac{2540\pi}{3}$
Таким образом, объём усечённого конуса составляет $\frac{2540\pi}{3}$ кубических сантиметров.
Ответ: $\frac{2540\pi}{3}$ см³.

313. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 2 см, его образующая — 17 см, а высота — 15 см.

Найдите объём усечённого конуса.

313. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 2 см, его образующая — 17 см, а высота — 15 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $h$ — высота, $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания.

По условию задачи нам известны:
Радиус меньшего основания $r = 2$ см.
Образующая $l = 17$ см.
Высота $h = 15$ см.

Для вычисления объёма нам не хватает радиуса большего основания $R$. Мы можем найти его, рассмотрев осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания к большему, мы получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, а катетами — высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R - r)$.

По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим известные значения в это уравнение и выразим $R$:
$17^2 = 15^2 + (R - 2)^2$
$289 = 225 + (R - 2)^2$
$(R - 2)^2 = 289 - 225$
$(R - 2)^2 = 64$
$R - 2 = \sqrt{64}$
$R - 2 = 8$
$R = 8 + 2 = 10$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчёта объёма: $h = 15$ см, $R = 10$ см, $r = 2$ см. Подставим их в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 15 \cdot (10^2 + 10 \cdot 2 + 2^2)$
$V = 5 \pi (100 + 20 + 4)$
$V = 5 \pi (124)$
$V = 620 \pi$ см$^3$.

Ответ: $620 \pi$ см$^3$.

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 7, его образующая равна $10\sqrt{2}$ см, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 7, его образующая равна $10\sqrt{2}$ см, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $H$ – высота конуса.

1. Нахождение высоты H и разности радиусов R - r

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Образующая конуса $l$ является боковой стороной этой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза – это образующая $l = 10\sqrt{2}$ см;
• один катет – это высота усечённого конуса $H$;
• второй катет – это разность радиусов оснований $R - r$;
• угол между образующей (гипотенузой) и плоскостью большего основания (катетом $R-r$) равен $45^\circ$.

Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то треугольник является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $H = R - r$.

Найдем длину катетов через гипотенузу и синус угла:

$H = l \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см.

Таким образом, высота конуса $H = 10$ см, и разность радиусов $R - r = 10$ см.

2. Нахождение радиусов R и r

По условию, радиусы оснований относятся как $2:7$. Обозначим радиусы как $r = 2x$ и $R = 7x$.

Подставим эти выражения в полученное ранее равенство $R - r = 10$:

$7x - 2x = 10$

$5x = 10$

$x = 2$

Теперь можем найти точные значения радиусов:

$r = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

$R = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

3. Вычисление объёма усечённого конуса

У нас есть все необходимые данные для формулы объёма: $H = 10$ см, $r = 4$ см, $R = 14$ см.

Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 10 \cdot (14^2 + 14 \cdot 4 + 4^2)$

$V = \frac{10\pi}{3} \cdot (196 + 56 + 16)$

$V = \frac{10\pi}{3} \cdot (268)$

$V = \frac{2680\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{2680\pi}{3}$ см$^3$.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной $10\frac{5}{7}$ см и

$14\frac{2}{7}$ см, а радиус его большего основания равен 4 см.

Найдите объём усечённого конуса.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной $10\frac{5}{7}$ см и $14\frac{2}{7}$ см, а радиус его большего основания равен 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AC$ и $BD$ — диагонали.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. Тогда длина большего основания трапеции $AD = 2R$, а меньшего — $BC = 2r$. По условию, радиус большего основания $R = 4$ см, следовательно, $AD = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Диагонали трапеции точкой пересечения $O$ делятся на отрезки. По условию, их длины равны $10\frac{5}{7}$ см и $14\frac{2}{7}$ см. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$d_1 = 10\frac{5}{7} = \frac{10 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{75}{7}$ см

$d_2 = 14\frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{100}{7}$ см

Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны по двум углам ($\angle AOD = \angle COB$ как вертикальные, $\angle OAD = \angle OCB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).

В равнобокой трапеции диагонали равны, и отрезки, на которые они делятся точкой пересечения, попарно равны. Большему основанию $AD$ соответствуют большие отрезки диагоналей, поэтому $AO = DO = \frac{100}{7}$ см. Меньшему основанию $BC$ соответствуют меньшие отрезки, поэтому $BO = CO = \frac{75}{7}$ см.

Коэффициент подобия треугольников равен отношению их соответствующих сторон:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{AO}$

Используя длины отрезков диагоналей, найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{75/7}{100/7} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Отношение радиусов оснований конуса также равно коэффициенту подобия:

$\frac{r}{R} = \frac{BC/2}{AD/2} = \frac{BC}{AD} = k = \frac{3}{4}$

Зная $R=4$ см, найдем $r$:

$\frac{r}{4} = \frac{3}{4} \implies r = 3$ см.

Теперь найдем высоту усечённого конуса $H$, которая равна высоте трапеции. Высота трапеции $H$ складывается из высот треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, проведённых из точки $O$ к основаниям $AD$ и $BC$. Обозначим эти высоты $h_2$ и $h_1$ соответственно ($H = h_1 + h_2$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOD$. Его высота $h_2$, проведенная к основанию $AD$, является также и медианой, поэтому она делит основание $AD$ пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_2$, половиной основания ($AD/2 = R = 4$ см) и боковой стороной ($DO = \frac{100}{7}$ см), по теореме Пифагора:

$h_2^2 + R^2 = DO^2$

$h_2^2 + 4^2 = \left(\frac{100}{7}\right)^2$

$h_2^2 = \frac{10000}{49} - 16 = \frac{10000 - 16 \cdot 49}{49} = \frac{10000 - 784}{49} = \frac{9216}{49}$

$h_2 = \sqrt{\frac{9216}{49}} = \frac{96}{7}$ см.

Отношение высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\frac{h_1}{h_2} = k = \frac{3}{4}$

$h_1 = \frac{3}{4} h_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{96}{7} = \frac{3 \cdot 24}{7} = \frac{72}{7}$ см.

Полная высота конуса $H$ равна:

$H = h_1 + h_2 = \frac{72}{7} + \frac{96}{7} = \frac{168}{7} = 24$ см.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $H=24$ см, $R=4$ см, $r=3$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 24 \cdot (4^2 + 4 \cdot 3 + 3^2) = 8\pi(16 + 12 + 9) = 8\pi(37) = 296\pi$ см³.

Ответ: $296\pi$ см³.