Страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Объём конуса равен $20\pi \text{ см}^3$, а его высота — 4 см.

Найдите радиус основания конуса.

297. Объём конуса равен $20\pi \text{ см}^3$, а его высота — 4 см.
Найдите радиус основания конуса.

Объём конуса (V) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

По условию задачи, объём конуса $V = 20\pi$ см³, а его высота $H = 4$ см. Подставим известные значения в формулу объёма:

$20\pi = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot 4$

Для того чтобы найти радиус основания $R$, решим полученное уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$20 = \frac{4}{3}R^2$

Теперь выразим $R^2$. Для этого умножим обе части уравнения на 3 и разделим на 4:

$R^2 = \frac{20 \cdot 3}{4}$

$R^2 = \frac{60}{4}$

$R^2 = 15$

Теперь найдём радиус, извлекая квадратный корень. Так как радиус является геометрической величиной, он может быть только положительным.

$R = \sqrt{15}$ см.

Ответ: $\sqrt{15}$ см.

298. Объём цилиндра равен 18 $\text{см}^3$. Найдите объём конуса, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный цилиндр.

298. Объём цилиндра равен $18 \text{ см}^3$. Найдите объём конуса, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный цилиндр.

Для решения задачи воспользуемся формулами для вычисления объёмов цилиндра и конуса.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цилиндра} = S_{основания} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Объём конуса вычисляется по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

В условии задачи сказано, что у конуса и цилиндра одинаковые радиусы оснований и высоты. Сравнивая формулы их объёмов, можно заметить, что объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра с такими же параметрами:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} (\pi R^2 h) = \frac{1}{3} V_{цилиндра}$

Нам дан объём цилиндра $V_{цилиндра} = 18 \text{ см}^3$. Теперь мы можем найти объём конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot 18 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$

Ответ: 6 см³.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 см, а прилежащий к нему угол — 30°. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 см, а прилежащий к нему угол — $30^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

В результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Высота этого конуса $h$ равна катету, вокруг которого происходит вращение, а радиус основания $r$ равен второму катету.

Согласно условию, длина катета, который является осью вращения, составляет 10 см. Таким образом, высота конуса $h = 10$ см.

Угол, прилежащий к данному катету (высоте конуса), равен $30^\circ$. Второй катет (радиус основания $r$) является противолежащим этому углу. Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся тригонометрической функцией тангенса:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{h}$

Выразим отсюда радиус $r$:

$r = h \cdot \tan(30^\circ)$

Подставим известные значения $h = 10$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$r = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем объём конуса $V$ по стандартной формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим в формулу значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot 10 = \frac{1000\pi}{9}$

Объём полученного тела вращения равен $\frac{1000\pi}{9}$ кубических сантиметров.

Ответ: $\frac{1000\pi}{9}$ см$^3$.

300. Осевое сечение конуса — треугольник, площадь которого равна $9\sqrt{3}$ $см^2$, а один из углов — $120^\circ$. Найдите объём конуса.

300. Осевое сечение конуса — треугольник, площадь которого равна $9\sqrt{3}\text{ см}^2$, а один из углов — $120^\circ$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса (обозначим их как $l$), а основание — диаметром основания конуса (обозначим его как $d=2R$, где $R$ — радиус основания конуса).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол в $120^\circ$ был при основании, то сумма двух углов при основании была бы $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$. Это невозможно. Следовательно, угол в $120^\circ$ — это угол при вершине треугольника (угол между образующими конуса). Углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае стороны — это образующие $l$, а угол между ними — $120^\circ$.

$S = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(120^\circ)$

Подставим известные значения:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} l^2 \sin(120^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} l^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9\sqrt{3} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$9 = \frac{l^2}{4}$

$l^2 = 36$

$l = 6$ см.

Теперь найдем высоту конуса $H$ и радиус основания $R$. Высота конуса является высотой осевого сечения, проведенной из вершины. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой и биссектрисой. Она делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. Гипотенуза каждого такого треугольника — это образующая $l=6$, один катет — это высота конуса $H$, а второй катет — радиус основания $R$. Углы в этом прямоугольном треугольнике равны $90^\circ$, $30^\circ$ (угол при основании) и $120^\circ / 2 = 60^\circ$ (половина угла при вершине).

Найдем $H$ и $R$ из прямоугольного треугольника:

$H = l \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

$R = l \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

$V = \frac{1}{3}\pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^3$.

Ответ: $27\pi$ см$^3$.

301. Объём конуса равен 2 $\text{см}^3$. Найдите объём конуса, радиус основания которого в 5 раз больше радиуса основания, а высота — в 10 раз меньше высоты данного конуса.

301. Объем конуса равен $2 \text{ см}^3$. Найдите объем конуса, радиус основания которого в 5 раз больше радиуса основания, а высота — в 10 раз меньше высоты данного конуса.

Обозначим объём, радиус основания и высоту исходного конуса как $V_1$, $R_1$ и $H_1$ соответственно. По условию задачи, объём этого конуса равен $V_1 = 2$ см³.

Формула для вычисления объёма конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Таким образом, для данного конуса: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1 = 2$.

Теперь рассмотрим новый конус. Обозначим его объём, радиус основания и высоту как $V_2$, $R_2$ и $H_2$.

Из условия известно, что радиус основания нового конуса в 5 раз больше радиуса основания данного конуса, а высота — в 10 раз меньше. Запишем это в виде соотношений:
$R_2 = 5 \cdot R_1$
$H_2 = \frac{H_1}{10}$

Теперь найдем объём нового конуса $V_2$, подставив в формулу его радиус $R_2$ и высоту $H_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3} \pi (5R_1)^2 \left(\frac{H_1}{10}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (25R_1^2) \frac{H_1}{10} = \frac{25}{10} \cdot \left(\frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1\right)$

Заметим, что выражение в скобках $\left(\frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1\right)$ — это объём исходного конуса $V_1$. Следовательно, мы можем записать:

$V_2 = \frac{25}{10} \cdot V_1 = 2.5 \cdot V_1$

Подставим известное значение $V_1 = 2$ см³:

$V_2 = 2.5 \cdot 2 = 5$ см³

Ответ: 5 см³

302. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{4}$ его высоты (рис. 29). Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости надо до- лить, чтобы полностью напол- нить сосуд?

Рис. 29

302. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{4}$ его высоты (рис. 29). Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Рис. 29

Пусть $V$ и $H$ — это объём и высота всего сосуда (большого конуса), а $v$ и $h$ — объём и высота налитой жидкости (малого конуса). По условию задачи, уровень жидкости достигает $\frac{1}{4}$ высоты сосуда, следовательно, $h = \frac{1}{4}H$. Объём жидкости $v$ равен 10 мл.

Малый конус, образованный жидкостью, подобен большому конусу (всему сосуду). Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен отношению высот:

$k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{4}H}{H} = \frac{1}{4}$

Следовательно, отношение объёма жидкости к объёму всего сосуда равно кубу этого коэффициента:

$\frac{v}{V} = k^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

Теперь мы можем найти полный объём сосуда $V$, зная объём жидкости $v = 10$ мл:

$V = 64 \cdot v = 64 \cdot 10 = 640$ мл.

Чтобы определить, сколько жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд, необходимо из полного объёма сосуда вычесть объём уже имеющейся жидкости:

$V_{долить} = V - v = 640 - 10 = 630$ мл.

Ответ: 630 мл.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом $120^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $30^\circ$, а радиус основания конуса равен 18 см.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом $120^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $30^\circ$, а радиус основания конуса равен 18 см.

Для нахождения объёма конуса необходимо знать его высоту $H$ и радиус основания $R$. Радиус основания нам дан по условию: $R = 18$ см. Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Нам нужно найти высоту конуса $H$.

1. Рассмотрим основание конуса.

В основании лежит круг с центром $O$ и радиусом $R=18$ см. Хорда, по которой сечение пересекает основание, видна из центра под углом $120^\circ$. Обозначим концы хорды буквами $A$ и $B$. Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $AOB$, где $OA = OB = R = 18$ см, а угол $\angle AOB = 120^\circ$.

Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $\triangle OMA$ — прямоугольный, и $\angle MOA = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Найдем длину отрезка $OM$ из треугольника $OMA$:

$OM = OA \cdot \cos(\angle MOA) = R \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

2. Рассмотрим сечение и найдем высоту конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса. Сечение представляет собой треугольник $SAB$. $SM$ — высота этого треугольника, проведенная к основанию $AB$.

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (хорде $AB$). Мы уже построили один перпендикуляр — $OM$ в плоскости основания. $SM$ является перпендикуляром к $AB$ в плоскости сечения. Следовательно, угол между плоскостями равен углу $\angle SMO$, и по условию он составляет $30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как $SO$ — высота конуса и перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любому отрезку в этой плоскости, в том числе $OM$. В этом треугольнике:

• $OM = 9$ см (катет)
• $\angle SMO = 30^\circ$
• $SO = H$ (противолежащий катет, высота конуса)

Найдем высоту $H$ через тангенс угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies SO = OM \cdot \tan(\angle SMO)$

$H = 9 \cdot \tan(30^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объём конуса.

Теперь, зная радиус $R = 18$ см и высоту $H = 3\sqrt{3}$ см, мы можем найти объём конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot (18)^2 \cdot (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 324 \cdot 3\sqrt{3}$

$V = 324\sqrt{3}\pi$ см³.

Ответ: $324\sqrt{3}\pi$ см³.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус его основания как $R$, а образующую как $L$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. В этом сечении высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, а $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle SOA$ — прямоугольный треугольник, где $\angle SOA = 90^\circ$.

Согласно условию задачи, угол между образующей $SA$ и высотой $SO$ равен $\alpha$, то есть $\angle OSA = \alpha$. Расстояние от центра основания $O$ до образующей $SA$ равно $d$. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на гипотенузу $SA$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$. Таким образом, $OK = d$ и $OK \perp SA$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SKO = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является высота конуса $SO = H$, а катет $OK = d$ лежит напротив угла $\angle OSK = \alpha$. Используя определение синуса угла, получаем:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OK}{SO} = \frac{d}{H}$

Из этого соотношения выражаем высоту конуса $H$:

$H = \frac{d}{\sin(\alpha)}$

Далее найдем радиус основания $R$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOA$. Тангенс угла $\alpha$ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета $OA = R$ к прилежащему катету $SO = H$:

$\tan(\alpha) = \frac{OA}{SO} = \frac{R}{H}$

Выразим радиус $R = H \tan(\alpha)$ и подставим в это выражение найденное ранее значение для $H$:

$R = \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) \cdot \tan(\alpha) = \frac{d}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d}{\cos(\alpha)}$

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим в нее полученные выражения для $R$ и $H$ через $d$ и $\alpha$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{d}{\cos(\alpha)}\right)^2 \cdot \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{d^2}{\cos^2(\alpha)} \cdot \frac{d}{\sin(\alpha)}$

После упрощения получаем окончательное выражение для объёма конуса:

$V = \frac{\pi d^3}{3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{\pi d^3}{3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)}$

305. Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Вращение происходит вокруг наибольшей стороны, то есть вокруг стороны $c = 36$ см.

Тело вращения, которое образуется при вращении треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиусом этого основания $r$ является высота треугольника $h$, опущенная на сторону, вокруг которой происходит вращение. Сумма высот этих двух конусов $h_1 + h_2$ равна длине стороны вращения $c$.

Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов: $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Так как $h_1 + h_2 = c$, то формула для объёма принимает вид: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 c$.

Чтобы найти радиус $r$, который равен высоте $h$, проведённой к стороне $c$, воспользуемся формулой площади треугольника. Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+29+36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника: $S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 4 \cdot 16 \cdot 5^2} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 16 \cdot 25} = 9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 = 360$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2}c \cdot h$. Отсюда найдём высоту $h$ (наш радиус $r$): $h = r = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 360}{36} = \frac{720}{36} = 20$ см.

Теперь мы можем найти объём тела вращения, подставив известные значения в формулу $V = \frac{1}{3}\pi r^2 c$: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot (20)^2 \cdot 36 = \frac{1}{3}\pi \cdot 400 \cdot 36 = \pi \cdot 400 \cdot 12 = 4800\pi$ см³.

Ответ: $4800\pi$ см³.