Номер 299, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 см, а прилежащий к нему угол — 30°. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 см, а прилежащий к нему угол — $30^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

В результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Высота этого конуса $h$ равна катету, вокруг которого происходит вращение, а радиус основания $r$ равен второму катету.

Согласно условию, длина катета, который является осью вращения, составляет 10 см. Таким образом, высота конуса $h = 10$ см.

Угол, прилежащий к данному катету (высоте конуса), равен $30^\circ$. Второй катет (радиус основания $r$) является противолежащим этому углу. Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся тригонометрической функцией тангенса:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{h}$

Выразим отсюда радиус $r$:

$r = h \cdot \tan(30^\circ)$

Подставим известные значения $h = 10$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$r = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем объём конуса $V$ по стандартной формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим в формулу значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot 10 = \frac{1000\pi}{9}$

Объём полученного тела вращения равен $\frac{1000\pi}{9}$ кубических сантиметров.

Ответ: $\frac{1000\pi}{9}$ см$^3$.