Номер 292, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Объём цилиндра, описанного около прямой призмы, вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы, которая совпадает с высотой цилиндра.

Нахождение высоты призмы H.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник со стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Пусть это треугольник $ABC$, где $AC = BC = b$ и $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$. Призма является прямой, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны основанию, а боковые грани — прямоугольники. Рассмотрим боковую грань, содержащую боковую сторону основания, например, сторону $BC$. Диагональ этой грани наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является сама сторона $BC$. Следовательно, угол $\beta$ — это угол между диагональю и стороной $BC$ в прямоугольном треугольнике, образованном стороной $BC$, боковым ребром (высотой $H$) и этой диагональю. В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота призмы $H$ и сторона основания $b$. Угол между диагональю и катетом $b$ равен $\beta$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует: $\tan(\beta) = \frac{H}{b}$ Отсюда выражаем высоту призмы: $H = b \cdot \tan(\beta)$

Нахождение радиуса R описанной около основания окружности.
Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника-основания, можно найти с помощью теоремы синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Для нашего равнобедренного треугольника $ABC$ мы знаем сторону $BC=b$ и противолежащий ей угол $\angle CAB = \alpha$. Применим теорему синусов: $\frac{BC}{\sin(\angle CAB)} = 2R$ $\frac{b}{\sin(\alpha)} = 2R$ Отсюда выражаем радиус: $R = \frac{b}{2 \sin(\alpha)}$

Вычисление объёма цилиндра.
Теперь, зная $R$ и $H$, можем найти объём цилиндра: $V = \pi R^2 H$ Подставим найденные выражения для $R$ и $H$: $V = \pi \left(\frac{b}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 \cdot (b \cdot \tan(\beta))$ $V = \pi \cdot \frac{b^2}{4 \sin^2(\alpha)} \cdot b \cdot \tan(\beta)$ $V = \frac{\pi b^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi b^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$