Номер 294, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Угол между меньшей диагональю призмы и её боковым ребром равен $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Угол между меньшей диагональю призмы и её боковым ребром равен $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Для нахождения объема цилиндра, вписанного в призму, необходимо найти его высоту $H_{цил}$ и радиус основания $r$. Объем вычисляется по формуле $V = \pi r^2 H_{цил}$.

1. Найдем высоту призмы $H$

Высота вписанного цилиндра равна высоте прямой призмы, то есть $H_{цил} = H$. Основанием призмы является ромб со стороной $a$ и тупым углом $\alpha$. Меньшая диагональ ромба $d_1$ лежит напротив острого угла, который равен $180^\circ - \alpha$. Найдем длину $d_1$ по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.

Используя формулу половинного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$d_1 = \sqrt{4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Призма прямая, поэтому ее боковое ребро перпендикулярно основанию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром призмы (высотой $H$), меньшей диагональю основания $d_1$ и меньшей диагональю призмы. Угол $\beta$ — это угол между боковым ребром и меньшей диагональю призмы. Из определения тангенса в этом треугольнике следует:

$\tan\beta = \frac{d_1}{H} \implies H = \frac{d_1}{\tan\beta} = \frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\tan\beta} = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

2. Найдем радиус основания цилиндра $r$

Основанием цилиндра является круг, вписанный в ромб. Радиус такого круга $r$ равен половине высоты ромба $h_{ромб}$. Площадь ромба можно вычислить по формулам $S = a^2\sin\alpha$ и $S = a \cdot h_{ромб}$. Приравняв их, найдем высоту ромба:

$h_{ромб} = a\sin\alpha$.

Тогда радиус основания цилиндра:

$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a\sin\alpha}{2}$.

3. Вычислим объем цилиндра $V$

Подставим найденные значения $H$ и $r$ в формулу объема цилиндра $V = \pi r^2 H$:

$V = \pi \left(\frac{a\sin\alpha}{2}\right)^2 \cdot \left(2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta\right)$

$V = \pi \frac{a^2\sin^2\alpha}{4} \cdot 2a\cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta = \frac{\pi a^3 \sin^2\alpha \cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta}{2}$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$. Тогда $\sin^2\alpha = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим это в выражение для объема:

$V = \frac{\pi a^3 \left(4\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})\right) \cos(\frac{\alpha}{2})\cot\beta}{2} = 2\pi a^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

Ответ: $2\pi a^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.