Номер 288, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра верхнего основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра верх-него основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности ниж-него основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту как $H$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Для нахождения объема нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные в условии величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $O_1$ – центр верхнего основания, а $O_2$ – центр нижнего основания. Пусть $AB$ – хорда в нижнем основании, с длиной $|AB| = a$. По условию, хорду видно из центра верхнего основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $AO_1B$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а $O_1$ – центр верхнего, то отрезки $O_1A$ и $O_1B$ равны. Следовательно, треугольник $AO_1B$ – равнобедренный. Проведем в нем высоту $O_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, $|AM| = \frac{|AB|}{2} = \frac{a}{2}$ и $\angle AO_1M = \frac{\angle AO_1B}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $AO_1M$ находим длину отрезка $O_1A$:

$\sin(\angle AO_1M) = \frac{|AM|}{|O_1A|}$

$|O_1A| = \frac{|AM|}{\sin(\angle AO_1M)} = \frac{a/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1O_2A$. Его катеты – это высота цилиндра $|O_1O_2| = H$ и радиус основания $|O_2A| = R$. Гипотенуза – это отрезок $|O_1A|$. По теореме Пифагора:

$|O_1A|^2 = |O_1O_2|^2 + |O_2A|^2 = H^2 + R^2$.

Подставим найденное ранее выражение для $|O_1A|$:

$\left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = H^2 + R^2$ (1)

По второму условию задачи, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания (например, $O_1A$), образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией отрезка $O_1A$ на плоскость нижнего основания является радиус $O_2A$. Угол между наклонной и ее проекцией – это $\angle O_1AO_2$. Таким образом, $\angle O_1AO_2 = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $O_1O_2A$ имеем:

$\tan(\beta) = \frac{|O_1O_2|}{|O_2A|} = \frac{H}{R}$.

Отсюда выразим высоту $H$ через радиус $R$:

$H = R \tan(\beta)$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $H$ и $R$. Подставим выражение для $H$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = (R \tan(\beta))^2 + R^2$

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R^2 (\tan^2(\beta) + 1)$.

Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(\beta) = \frac{1}{\cos^2(\beta)}$, получаем:

$\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R^2 \frac{1}{\cos^2(\beta)}$.

Отсюда находим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Далее найдем высоту $H$, используя уравнение (2) и найденное значение для $R$:

$H = R \tan(\beta) = \sqrt{\frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{a \sin(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Наконец, вычисляем объем цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$:

$V = \pi \cdot \left(\frac{a^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}\right) \cdot \left(\frac{a \sin(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)$.

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:

$V = \frac{\pi a^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{8 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{8 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.