Номер 283, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 72 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достига- ет 72 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндриче- ский сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаме- тра первого?

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота уровня жидкости. Площадь круга, который является основанием цилиндра, можно выразить через его диаметр $d$ по формуле $S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Пусть $d_1$ и $h_1$ — диаметр и высота жидкости в первом сосуде, а $d_2$ и $h_2$ — во втором.

По условию, $h_1 = 72$ см, а диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$.

При переливании жидкости из одного сосуда в другой ее объем не меняется. Обозначим этот объем как $V$.
$V = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$
$V = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Приравняем выражения для объема:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Подставим в уравнение соотношение $d_2 = 3d_1$:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi (3d_1)^2}{4} \cdot h_2$
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi \cdot 9d_1^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на $\frac{\pi d_1^2}{4}$:
$h_1 = 9h_2$

Теперь найдем высоту жидкости во втором сосуде $h_2$, зная, что $h_1 = 72$ см:
$72 = 9h_2$
$h_2 = \frac{72}{9}$
$h_2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.