Номер 278, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Вариант 3. Упражнения - номер 278, страница 106.

Условие 2020.

278. Объём усечённой пирамиды равен 370 $см^3$, её высота — 6 см, а площади оснований относятся как $9:16$. Найдите площадь меньшего основания.

Условие 2023.

278. Объём усеченной пирамиды равен 370 $cm^3$, её высота — 6 см, а площади оснований относятся как 9 : 16. Найдите площадь меньшего основания.

Решение.

Решение 2 (2023).

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $V$ - объем, $h$ - высота, а $S_1$ и $S_2$ - площади оснований.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Объем $V = 370$ см³.

Высота $h = 6$ см.

Отношение площадей оснований $\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}$, где $S_1$ - площадь меньшего основания, а $S_2$ - площадь большего.

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда площади оснований можно выразить следующим образом:

$S_1 = 9x$

$S_2 = 16x$

Теперь подставим все известные значения и выражения в формулу объема усеченной пирамиды:

$370 = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (9x + 16x + \sqrt{9x \cdot 16x})$

Выполним вычисления поэтапно. Сначала упростим множитель перед скобками:

$\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$

Теперь упростим выражение в скобках:

$9x + 16x + \sqrt{144x^2} = 25x + 12x = 37x$

Подставим упрощенные части обратно в уравнение:

$370 = 2 \cdot (37x)$

$370 = 74x$

Найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{370}{74} = 5$

Целью задачи является нахождение площади меньшего основания, которую мы обозначили как $S_1$.

$S_1 = 9x = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, площадь меньшего основания равна 45 см².

Ответ: 45 см².