Номер 273, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Найдите объём пирамиды.

273. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту пирамиды.
По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота пирамиды ($H$) совпадает с высотой этой боковой грани, проведенной к стороне основания.Эта боковая грань является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Гипотенузой является сторона, общая с основанием пирамиды. Высота, проведенная к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике, также является медианой и равна половине гипотенузы.Следовательно, высота пирамиды:$H = \frac{a}{2}$

3. Вычислим объем пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$
Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$