Номер 276, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 3 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 3 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $S_1$ и $S_2$ – площади оснований, а $h$ – высота пирамиды.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями правильной треугольной усечённой пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 3$ см:

$S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проходящее через боковое ребро и высоту. Это сечение представляет собой трапецию. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой усечённой пирамиды $h$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет).

Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания равен $60°$. Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна разности радиусов окружностей, описанных около оснований: $R_1 - R_2$.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ находится по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус для большего основания:

$R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус для меньшего основания:

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Тогда длина проекции бокового ребра равна:

$R_1 - R_2 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника найдём высоту $h$:

$h = (R_1 - R_2) \cdot \tan(60°) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \left( 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} \right)$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4}}$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{81}\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$V = \frac{36\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{(36+9+18)\sqrt{3}}{4} = \frac{63\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{63\sqrt{3}}{4}$ см³.